Questão 01: Sistema massa-mola

Um bloco de massa 500 g está preso a uma mola cuja constante elástica é 1800 N / m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância de x=50 cm a partir da posição de equilíbrio em x=0 e liberado a partir do repouso em t=0.
(a) [1 , 0 pontos ] Calcule a frequência angular, a frequência, a amplitude e o período do movimento resultante. Deixe a resposta da frequência e do período em função de pi.
(b) [1,0 pontos ] Calcule a posição e a velocidade do bloco no instante t=pi / 180 s.
(c) [1,0 pontos ] Calcule a energia total do sistema bloco-mola.
(d) [1,0 pontos ] Calcule o primeiro instante de tempo no qual a energia cinética é igual a energia potencial elástica. Deixe a resposta em função de pi.
(e) [1 , 0 pontos ] Suponha que você deseje dobrar a velocidade máxima do bloco trocando apenas a mola do sistema, sem alterar a amplitude do movimento. Qual seria então a constante elástica da nova mola?

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples de um bloco de massa m=0,5,kg preso a uma mola de constante elástica k=1800,N/m, deslocado inicialmente A=0,5,m e solto em repouso. Para resolver precisamos das fórmulas
omega = raizkm, f=omega2pi, T=2piomega,
x(t)=Acos(omega t+varphi), v(t)=-A,omegasin(omega t+varphi),
Etot=tfrac12,k,A^2,
e mais adiante igualaremos energia cinética e potencial para achar um instante. Para dobrar a velocidade máxima usamos vmax=omega A.

Passo 2

(a) Como foi solto em repouso com x(0)=A, temos fase varphi=0. Logo
omega=raiz18000,5=raiz3600=60 rad/s,
f=omega2pi=602pi=30pi Hz,
T=2piomega=2pi60=pi30 s,
e a amplitude permanece A=0,5,m.

Passo 3

(b) Usando x(t)=Acos(omega t) e v(t)=-Aomegasin(omega t), em t=pi180,s temos
omega t=60cdotpi180=pi3,
xl(tfracpi180r)=0,5cos!l(tfracpi3r)=0,5cdot12=0,25 m,
vl(tfracpi180r)=-0,5cdot60sin!l(tfracpi3r)=-30cdotraiz32=-15raiz3 m/s

Passo 4

(c) A energia total é
Etot=12,k,A^2=12cdot1800cdot(0,5)^2=900cdot0,25=225 J

Passo 5

(d) No instante em que energia cinética = energia potencial temos cada uma valendo metade de Etot. Nesse caso
x^2=A^2/2Longrightarrow cos(omega t)=1raiz2
logo
omega t=pi4Longrightarrow t=pi4,omega=pi4cdot60=pi240 s

Passo 6

(e) Para dobrar vmax=omega A sem mudar A, queremos omega' =2omega. Como omega'=raizk'/m, basta
k' = m,(2omega)^2 =4,m,omega^2 =4,k =4cdot1800=7200 N/m

Resposta

(a) omega=60,rad/s, f=tfrac30pi,Hz, A=0,5,m, T=tfracpi30,s.
(b) x(tfracpi180)=0,25,m, v(tfracpi180)=-15raiz3,m/s.
(c) Etot=225,J.
(d) t=tfracpi240,s.
(e) k'=7200,N/m.

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