Resolva as seguintes EDO pelo método clássico:
\ddot{y}(t)-3 dot{y}(t)+2 y(t)=u(t), u(t)=4, dot{y}(0)=1\(e\)y(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem
\ddot{y}(t) - 3\dot{y}(t) + 2y(t) = u(t),
com forçamento constante u(t)=4 e condições iniciais y(0)=-1, \dot{y}(0)=1.
Conteúdo: resolver por método clássico, ou seja, achar a solução homogênea e depois uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
\ddot{y}_h - 3\dot{y}_h + 2y_h = 0.
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0,
que fatora como (r-1)(r-2)=0. Logo r_1=1 e r_2=2, e
y_h(t) = C_1 e^t + C_2 e^{2t}.

Passo 3

Para a parte particular, como u(t)=4 é constante, tentamos
y_p(t)=A,
logo \dot{y}_p=0 e \ddot{y}_p=0. Substituindo em \ddot{y}-3\dot{y}+2y=4, vem
2A = 4 \quad\Rightarrow\quad A = 2.

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{2t} + 2.

Passo 5

Derivando,
\dot{y}(t) = C_1 e^t + 2C_2 e^{2t}.
Em t=0\), as condições iniciais dão \[y(0) = C_1 + C_2 + 2 = -1,
\dot{y}(0) = C_1 + 2C_2 = 1.
Do sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = -3,\\\ C_1 + 2C_2 = 1, \end{cases}
segue C_2 = 4\] e \(C_1 = -7.

Passo 6

Substituindo C_1=-7 e C_2=4 na solução geral, obtemos
y(t) = -7e^t + 4e^{2t} + 2.

Resposta

y(t) = -7e^t + 4e^{2t} + 2.

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