Questão 01: Soma de Riemann e Teorema Fundamental do Cálculo
Calcule
:
(a)
Usando a soma de Riemann da função
com
subintervalos.
Calcule
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a soma de Riemann da função
quando o número de subintervalos
tende a infinito. Vamos lembrar que, para isso, nós:
- Partimos o intervalo
em subintervalos iguais de comprimento . - Escolhemos pontos de amostragem (por exemplo, os extremos direitos) e montamos a soma
. - Por fim, fazemos
e obtemos o valor exato da integral.
Passo 2
Dividimos
em
partes iguais. O comprimento de cada parte é
Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo, isto é,
Passo 3
A soma de Riemann com pontos direitos fica
Passo 4
O somatório
é uma série geométrica de razão
. Portanto,
Isso leva a
Passo 5
Agora fazemos o limite
. Note que
Logo,
Assim