Questão 01: Soma de Riemann e Teorema Fundamental do Cálculo
Calcule integral2^5 e^x d x :
(a) (2,0) Usando a soma de Riemann da função f(x)=e^x com n infty subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral2^5 e^x,dx
usando a soma de Riemann da função f(x)=e^x quando o número de subintervalos n tende a infinito. Vamos lembrar que, para isso, nós:
  1. Partimos o intervalo [2,5] em n subintervalos iguais de comprimento De<a x.
  2. Escolhemos pontos de amostragem (por exemplo, os extremos direitos) e montamos a soma
    Rn = sumi=1^n f(xi^*),De<a x.
  3. Por fim, fazemos ntoinfty e obtemos o valor exato da integral.

Passo 2

Dividimos [2,5] em n partes iguais. O comprimento de cada parte é
De<a x = 5-2n = 3n
Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo, isto é,
xi = 2 + i,De<a x = 2 + 3in, i=1,2,dots,n

Passo 3

A soma de Riemann com pontos direitos fica
Rn = sumi=1^n e^xi,De<a x = sumi=1^n e^,2 + tfrac3in;3n = 3n,e^2sumi=1^n e^tfrac3in

Passo 4

O somatório sumi=1^n e^tfrac3in é uma série geométrica de razão r = e^3/n. Portanto,
sumi=1^n e^tfrac3in = sumi=1^n r^i = r,r^n - 1r - 1 = e^tfrac3n;e^3 - 1,e^tfrac3n - 1,
Isso leva a
Rn = 3n,e^2;e^tfrac3n;e^3 - 1,e^tfrac3n - 1,

Passo 5

Agora fazemos o limite ntoinfty. Note que
limntoinfty e^tfrac3n = 1, e limntoinftye^tfrac3n - 1tfrac1n = 3
Logo,
limntoinfty nl(e^tfrac3n - 1r) = 3 Longrightarrow limntoinfty 3n,l(e^tfrac3n - 1r) = 1
Assim
limntoinfty Rn = e^2,(e^3-1) = e^5 - e^2

Resposta

integral2^5 e^x,dx = e^5 - e^2

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