Questão 01: Suponha que em certa região, o peso dos homens adultos tenha distribuição normal com média
e desvio padrão
. E o peso das mulheres adultas tenha distribuição normal com média
e desvio padrão 10 kg .
Ao selecionar uma pessoa ao acaso, o que é mais provável: uma mulher com mais de 65 kg , ou um homem com mais de 70 kg ?
Ao selecionar uma pessoa ao acaso, o que é mais provável: uma mulher com mais de 65 kg , ou um homem com mais de 70 kg ?
Passo 1
O enunciado dá duas distribuições normais e pede que a gente diga qual evento é mais provável: uma mulher com mais de 65 kg, ou um homem com mais de 70 kg. Informações relevantes fornecidas:
Pergunta que vamos responder: comparar
com
e dizer qual é maior.
Passo 2
Estratégia (breve): para cada variável normal vamos transformar o valor pedido em um escore-padrão (z-score), que nos permite usar a tabela da normal padrão. A transformação é feita pela fórmula do z-score:
onde
é o ponto que nos interessa,
é a média da distribuição e
é o desvio padrão. Depois usamos a função distribuição acumulada da normal padrão, que chamamos de
, onde
para
.
Explicando muito bem a fórmula do z-score:
é o centro da distribuição (valor médio),
mede a dispersão (quanto os valores se espalham). Subtrair
desloca o ponto para a origem; dividir por
ajusta a escala para desvios-padrão. Assim, o z-score diz “quantos desvios-padrão o ponto
está da média”. Na prova, depois de achar
você consulta a tabela da normal padrão para obter
.
Passo 3
Calcular
(mulher com mais de
). Primeiro o z-score:
Então
Consultando a tabela da normal padrão (valor típico):
. Logo
Interpretação: cerca de
das mulheres têm peso acima de
.
Passo 4
Calcular
(homem com mais de
). Primeiro o z-score:
Então
Usamos a propriedade da simetria da normal padrão:
. Assim
Consultando a tabela,
. Logo
Interpretação: cerca de
dos homens têm peso acima de
.
Passo 5
Comparação e checagem intuitiva:
e
. Faz sentido: a média dos homens é
, então pedir “mais que
” é pedir algo ligeiramente abaixo da média (probabilidade maior que
). Já para mulheres a média é
, pedir “mais que
” está
acima da média, ou
desvios-padrão, o que produz uma probabilidade bem menor.
Passo 6
Conclusão e dica prática para prova: calcule z-scores com calma, use a tabela da normal padrão e lembre da simetria
. Aqui ficou claro sem apelar para cálculo pesado: como
está ligeiramente abaixo da média masculina, a probabilidade é maior que
; já
está acima da média feminina por vários quilos, então a probabilidade é bem menor.
Resposta
Mais provável: um homem com mais de