Questão 01: Suponha que em certa região, o peso dos homens adultos tenha distribuição normal com média 71,5 \mathrm{~kg} e desvio padrão 17,2 \mathrm{~kg}. E o peso das mulheres adultas tenha distribuição normal com média 57,7 \mathrm{~kg} e desvio padrão 10 kg .
Ao selecionar uma pessoa ao acaso, o que é mais provável: uma mulher com mais de 65 kg , ou um homem com mais de 70 kg ?

Passo 1

O enunciado dá duas distribuições normais e pede que a gente diga qual evento é mais provável: uma mulher com mais de 65 kg, ou um homem com mais de 70 kg. Informações relevantes fornecidas:
\text{Peso dos homens: } X \sim N\bigl(71{,}5,\;17{,}2^2\bigr).
\text{Peso das mulheres: } Y \sim N\bigl(57{,}7,\;10^2\bigr).
Pergunta que vamos responder: comparar P(Y>65) com P(X>70) e dizer qual é maior.

Passo 2

Estratégia (breve): para cada variável normal vamos transformar o valor pedido em um escore-padrão (z-score), que nos permite usar a tabela da normal padrão. A transformação é feita pela fórmula do z-score:
z=\frac{x-\mu}{\sigma},
onde x é o ponto que nos interessa, \mu é a média da distribuição e \sigma é o desvio padrão. Depois usamos a função distribuição acumulada da normal padrão, que chamamos de \Phi, onde \Phi(z)=P(Z\le z) para Z\sim N(0,1).
Explicando muito bem a fórmula do z-score: \mu é o centro da distribuição (valor médio), \sigma mede a dispersão (quanto os valores se espalham). Subtrair \mu desloca o ponto para a origem; dividir por \sigma ajusta a escala para desvios-padrão. Assim, o z-score diz “quantos desvios-padrão o ponto x está da média”. Na prova, depois de achar z você consulta a tabela da normal padrão para obter \Phi(z).

Passo 3

Calcular P(Y>65) (mulher com mais de 65\\ \mathrm{kg}). Primeiro o z-score:
z_Y=\frac{65-57{,}7}{10}=\frac{7{,}3}{10}=0{,}73.
Então
P(Y>65)=1-\Phi(0{,}73).
Consultando a tabela da normal padrão (valor típico): \Phi(0{,}73)\approx 0{,}7673. Logo
P(Y>65)=1-0{,}7673=0{,}2327.
Interpretação: cerca de 23{,}27\% das mulheres têm peso acima de 65\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular P(X>70) (homem com mais de 70\\ \mathrm{kg}). Primeiro o z-score:
z_X=\frac{70-71{,}5}{17{,}2}=\frac{-1{,}5}{17{,}2}\approx -0{,}0872.
Então
P(X>70)=1-\Phi(-0{,}0872).
Usamos a propriedade da simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
1-\Phi(-0{,}0872)=\Phi(0{,}0872).
Consultando a tabela, \Phi(0{,}0872)\approx 0{,}5347. Logo
P(X>70)\approx 0{,}5347.
Interpretação: cerca de 53{,}47\% dos homens têm peso acima de 70\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Comparação e checagem intuitiva: P(Y>65)\approx 0{,}2327 e P(X>70)\approx 0{,}5347. Faz sentido: a média dos homens é 71{,}5\\ \mathrm{kg}, então pedir “mais que 70” é pedir algo ligeiramente abaixo da média (probabilidade maior que 50\%). Já para mulheres a média é 57{,}7\\ \mathrm{kg}, pedir “mais que 65” está 7{,}3\\ \mathrm{kg} acima da média, ou 0{,}73 desvios-padrão, o que produz uma probabilidade bem menor.

Passo 6

Conclusão e dica prática para prova: calcule z-scores com calma, use a tabela da normal padrão e lembre da simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z). Aqui ficou claro sem apelar para cálculo pesado: como 70 está ligeiramente abaixo da média masculina, a probabilidade é maior que 1/2; já 65 está acima da média feminina por vários quilos, então a probabilidade é bem menor.

Resposta

P(\text{mulher}>65)\approx 0{,}2327.
P(\text{homem}>70)\approx 0{,}5347.
Mais provável: um homem com mais de 70\\ \mathrm{kg}.

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