Questão 01: Suponha que em certa região, o peso dos homens adultos tenha distribuição normal com média
e desvio padrão
. E o peso das mulheres adultas tenha distribuição normal com média
e desvio padrão 10 kg .
Qual é o peso máximo dos homens que limita os
mais baixos?
Qual é o peso máximo dos homens que limita os
Passo 1
O que o enunciado pede: qual é o peso máximo dos homens que limita os
mais baixos da distribuição de pesos masculinos nessa região.
Informações dadas (vamos listar tudo com cuidado):
Informações dadas (vamos listar tudo com cuidado):
- A distribuição do peso dos homens é normal com média
. - O desvio padrão é
. - Queremos o percentil de ordem
, ou seja, o valor tal que dos homens pesam até : .
Passo 2
Entendendo o conceito e a ferramenta que vamos usar (aula rápida e prática):
- Para uma variável aleatória
com distribuição normal , transformar em uma variável normal padrão (com média e desvio padrão ) facilita achar probabilidades e quantis. A fórmula de padronização é:
Aqui
é a versão padronizada de
,
é a média e
é o desvio padrão.
- O percentil
(aqui ) corresponde ao quantil da normal padrão tal que . Depois de achar usamos a inversa da padronização para obter :
Isso é prático na prova: você olha numa tabela da normal padrão (ou usa calculadora/sistema) para achar
e aplica a fórmula acima.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: padronizamos a condição
. Usando
,
Portanto
onde
é o quantil da normal padrão para área
à esquerda.
Passo 4
Obter
em tabelas ou calculadora: o valor padrão é aproximadamente
(Interpretação: como queremos os
mais baixos, o z correspondente é negativo; esse valor geralmente vem de uma tabela da normal padrão.)
Passo 5
Calcular
com números e mostrar a conta passo a passo:
Usamos e
. Pela fórmula inversa:
Usamos
Substituindo:
Agora multiplicamos detalhadamente:
Calculemos
por partes:
Somando:
. Dividindo por
dá
Como há sinal negativo,
Arredondando de forma usual para dois decimais (kg):
Passo 6
Interpretação final e dica prática para a prova:
- O valor
significa que cerca de dos homens pesam até aproximadamente . - Dica prática: em prova você normalmente usa a tabela da normal padrão para pegar
(se a tabela tiver só duas casas) e faz , obtendo praticamente o mesmo resultado ( ). Isso é rápido e aceitável se a tabela for de duas casas.