Questão 01: Suponha que em certa região, o peso dos homens adultos tenha distribuição normal com média 71,5 \mathrm{~kg} e desvio padrão 17,2 \mathrm{~kg}. E o peso das mulheres adultas tenha distribuição normal com média 57,7 \mathrm{~kg} e desvio padrão 10 kg .
Qual é o peso máximo dos homens que limita os 10 \% mais baixos?

Passo 1

O que o enunciado pede: qual é o peso máximo dos homens que limita os 10\% mais baixos da distribuição de pesos masculinos nessa região.
Informações dadas (vamos listar tudo com cuidado):
  • A distribuição do peso dos homens é normal com média \mu = 71,5\\ \mathrm{kg}.
  • O desvio padrão é \sigma = 17,2\\ \mathrm{kg}.
  • Queremos o percentil de ordem 10\%, ou seja, o valor x tal que 10\% dos homens pesam até x: \Pr(X \le x)=0,10.

Passo 2

Entendendo o conceito e a ferramenta que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para uma variável aleatória X com distribuição normal N(\mu,\sigma^2), transformar X em uma variável normal padrão Z (com média 0 e desvio padrão 1) facilita achar probabilidades e quantis. A fórmula de padronização é:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a versão padronizada de X, \mu é a média e \sigma é o desvio padrão.
  • O percentil p (aqui p=0,10) corresponde ao quantil z_p da normal padrão tal que \Pr(Z \le z_p)=p. Depois de achar z_p usamos a inversa da padronização para obter x:
x = \mu + z_p\,\sigma.
Isso é prático na prova: você olha numa tabela da normal padrão (ou usa calculadora/sistema) para achar z_p e aplica a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: padronizamos a condição \Pr(X \le x)=0,10. Usando Z,
\Pr\!\left(Z \le \frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,10.
Portanto
\frac{x-\mu}{\sigma}=z_{0,10},
onde z_{0,10} é o quantil da normal padrão para área 0,10 à esquerda.

Passo 4

Obter z_{0,10} em tabelas ou calculadora: o valor padrão é aproximadamente
z_{0,10}\approx -1,2816.
(Interpretação: como queremos os 10\% mais baixos, o z correspondente é negativo; esse valor geralmente vem de uma tabela da normal padrão.)

Passo 5

Calcular x com números e mostrar a conta passo a passo:
Usamos \mu = 71,5 e \sigma = 17,2. Pela fórmula inversa:
x = \mu + z_{0,10}\,\sigma.
Substituindo:
x = 71,5 + (-1,2816)\times 17,2.
Agora multiplicamos detalhadamente:
1,2816\times 17,2 = 1,2816\times 172/10 = \frac{1,2816\times 172}{10}.
Calculemos 1,2816\times 172 por partes:
1,2816\times 100 = 128,16,
1,2816\times 70 = 89,712,
1,2816\times 2 = 2,5632.
Somando: 128,16+89,712+2,5632 = 220,4352. Dividindo por 10
1,2816\times 17,2 = 22,04352.
Como há sinal negativo,
x = 71,5 - 22,04352 = 49,45648.
Arredondando de forma usual para dois decimais (kg):
x \approx 49,46\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova:
  • O valor x\approx 49,46\\ \mathrm{kg} significa que cerca de 10\% dos homens pesam até aproximadamente 49,46\\ \mathrm{kg}.
  • Dica prática: em prova você normalmente usa a tabela da normal padrão para pegar z_{0,10}\approx -1,28 (se a tabela tiver só duas casas) e faz x = 71,5 + (-1,28)\times 17,2, obtendo praticamente o mesmo resultado ( \approx 49,5\\ \mathrm{kg}). Isso é rápido e aceitável se a tabela for de duas casas.

Resposta

49,46\\ \mathrm{kg}

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