Questão 01: Suponha que em certa região, o peso dos homens adultos tenha distribuição normal com média 71,5 \mathrm{~kg} e desvio padrão 17,2 \mathrm{~kg}. E o peso das mulheres adultas tenha distribuição normal com média 57,7 \mathrm{~kg} e desvio padrão 10 kg .
Qual é a probabilidade de uma pessoa ter peso acima de 65 kg , sendo ela sorteada de um grupo de pessoas constituído de 60 \% de mulheres e 40 \% de homens?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados sobre o peso dos homens adultos:
    \text{Homens: } \mu_{H}=71{,}5\\ \text{kg},\qquad \sigma_{H}=17{,}2\\ \text{kg}
    e assume-se distribuição normal.
  • Dados sobre o peso das mulheres adultas:
    \text{Mulheres: } \mu_{M}=57{,}7\\ \text{kg},\qquad \sigma_{M}=10\\ \text{kg}
    e assume-se distribuição normal.
  • Composição do grupo: 60\% de mulheres e 40\% de homens, isto é,
    P(\text{Mulher})=0{,}60,\qquad P(\text{Homem})=0{,}40.
  • O que se pede:
    \text{Calcular }P(\text{peso}>65\\ \text{kg})\\ \text{quando a pessoa é sorteada desse grupo misto.}é

Passo 2

Ideia geral (regra de probabilidade total para mistura): quando temos uma população que é mistura de dois subgrupos, a probabilidade de um evento é a média ponderada das probabilidades condicionais em cada subgrupo. Escrevemos:
P(\text{peso}>65)=P(\text{peso}>65\mid \text{Mulher})\,P(\text{Mulher})+P(\text{peso}>65\mid \text{Homem})\,P(\text{Homem}).
Então vamos calcular as duas probabilidades condicionais e depois fazer a média ponderada com 0{,}60 e 0{,}40.

Passo 3

Como calcular P(\text{peso}>65\mid \text{grupo}) quando o peso segue uma normal? Regra prática:
  • Se X\sim N(\mu,\sigma), transformamos para a variável normal padrão Z\sim N(0,1) usando Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.Então P(X>a)=1-\Phi\!\bigg(\frac{a-\mu}{\sigma}\bigg),onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão, ou seja, \Phi(z)=P(Z\le z).
Explicando em palavras: subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão para ver quantos desvios-padrão o valor a está da média, e usamos a tabela (ou calculadora) da normal padrão para obter a probabilidade acumulada.

Passo 4

Calcular P(\text{peso}>65\mid \text{Mulher}).
  • Primeiro o escore z para mulheres:
    z_{M}=\frac{65-\mu_{M}}{\sigma_{M}}=\frac{65-57{,}7}{10}=\frac{7{,}3}{10}=0{,}73.
  • Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora), obtemos
    \Phi(0{,}73)\approx 0{,}7673.
    (Isto significa que P(Z\le 0{,}73)\approx 0{,}7673.)
  • Logo
    P(\text{peso}>65\mid \text{Mulher})=1-\Phi(0{,}73)\approx 1-0{,}7673=0{,}2327.

Passo 5

Calcular P(\text{peso}>65\mid \text{Homem}).
  • Escore z para homens:
    z_{H}=\frac{65-\mu_{H}}{\sigma_{H}}=\frac{65-71{,}5}{17{,}2}=\frac{-6{,}5}{17{,}2}\approx -0{,}3779.
  • Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: \Phi(-z)=1-\Phi(z). Assim
    P(\text{peso}>65\mid \text{Homem})=1-\Phi(z_{H})=1-\Phi(-0{,}3779)=\Phi(0{,}3779).
  • Consultando a tabela/ calculadora e (fazendo uma pequena interpolação),
    \Phi(0{,}3779)\approx 0{,}6472.
    Então
    P(\text{peso}>65\mid \text{Homem})\approx 0{,}6472.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2, usando os pesos P(\text{Mulher})=0{,}60 e P(\text{Homem})=0{,}40:
\begin{aligned} P(\text{peso}>65) &=0{,}60\cdot P(\text{peso}>65\mid \text{Mulher})+0{,}40\cdot P(\text{peso}>65\mid \text{Homem})\\[4pt] &=0{,}60\cdot 0{,}2327 + 0{,}40\cdot 0{,}6472. \end{aligned}
Calculemos os produtos:
0{,}60\cdot 0{,}2327=0{,}13962,\qquad 0{,}40\cdot 0{,}6472=0{,}25888.
Somando:
P(\text{peso}>65)\approx 0{,}13962+0{,}25888=0{,}39850.]

Passo 7

Interpretação e arredondamento final: a probabilidade é aproximadamente 0{,}3985, isto é, cerca de 39{,}85\%. Forneço o valor em forma decimal para uso direto em cálculos.

Resposta

0,3985

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