Questão 01: Suponha que em certa região, o peso dos homens adultos tenha distribuição normal com média
e desvio padrão
. E o peso das mulheres adultas tenha distribuição normal com média
e desvio padrão 10 kg .
Qual é a probabilidade de uma pessoa ter peso acima de 65 kg , sendo ela sorteada de um grupo de pessoas constituído de
de mulheres e
de homens?
Qual é a probabilidade de uma pessoa ter peso acima de 65 kg , sendo ela sorteada de um grupo de pessoas constituído de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
-
Dados sobre o peso dos homens adultos:e assume-se distribuição normal.
-
Dados sobre o peso das mulheres adultas:e assume-se distribuição normal.
-
Composição do grupo:
de mulheres e de homens, isto é, -
O que se pede:
Passo 2
Ideia geral (regra de probabilidade total para mistura): quando temos uma população que é mistura de dois subgrupos, a probabilidade de um evento é a média ponderada das probabilidades condicionais em cada subgrupo. Escrevemos:
Então vamos calcular as duas probabilidades condicionais e depois fazer a média ponderada com
e
.
Passo 3
Como calcular
quando o peso segue uma normal? Regra prática:
- Se
, transformamos para a variável normal padrão usando Então onde é a função de distribuição acumulada da normal padrão, ou seja, .
Explicando em palavras: subtraímos a média e dividimos pelo desvio padrão para ver quantos desvios-padrão o valor
está da média, e usamos a tabela (ou calculadora) da normal padrão para obter a probabilidade acumulada.
Passo 4
Calcular
.
-
Primeiro o escore
para mulheres: -
Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora), obtemos(Isto significa que
.) -
Logo
Passo 5
Calcular
.
-
Escore
para homens: -
Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
. Assim -
Consultando a tabela/ calculadora e (fazendo uma pequena interpolação),Então
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2, usando os pesos
e
:
Calculemos os produtos:
Somando:
Passo 7
Interpretação e arredondamento final: a probabilidade é aproximadamente
, isto é, cerca de
. Forneço o valor em forma decimal para uso direto em cálculos.