Questão 02: Supondo que a altura X de um estudante, tomado ao acaso da sala de Meio Ambiente, tenha distribuição normal com média 162,5 \mathrm{~cm} e desvio padrão 6,7 \mathrm{~cm}.
Qual a probabilidade desse estudante ser 10 cm mais baixo que você?

Passo 1

Dados fornecidos:
X \sim N(\mu,\sigma^2)\quad\text{com}\quad \mu = 162,5\\ \text{cm},\\ \sigma = 6,7\\ \text{cm}.
Pergunta do enunciado: qual a probabilidade de que o estudante escolhido aleatoriamente seja 10\\ \text{cm} mais baixo que você?
Vou chamar sua altura de h (o enunciado não dá um valor numérico para a sua altura), então a pergunta é: qual é
P(\text{o estudante tem altura } \le h-10\\ \text{cm})\\ ?

Passo 2

Definir o evento que queremos calcular.
O evento “estudante é 10 cm mais baixo que você” corresponde a
\{X \le h-10\}.
Portanto a probabilidade que procuramos é
P(X \le h-10).

Passo 3

Transformação para a normal padrão (a técnica que usamos sempre que temos uma normal qualquer).
Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição normal padrão Z\sim N(0,1) (média 0 e desvio padrão 1). Essa transformação serve para usar tabelas ou funções da normal padrão.
Expliquei cada símbolo:
  • \mu é a média de X (aqui \mu=162,5).
  • \sigma é o desvio padrão de X (aqui \sigma=6,7).
  • Z é a variável padrão que mede quantos desvios-padrão um valor de X está distante da média.

Passo 4

Aplicar a padronização ao nosso evento. Substituímos X por Z:
P(X \le h-10) = P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{h-10-\mu}{\sigma}\right) = P\!\left(Z \le \frac{h-10-162,5}{6,7}\right).
Definindo
z^* = \frac{h-10-162,5}{6,7},
temos que a probabilidade pedida é
P(X \le h-10)=P(Z \le z^*)=\Phi(z^*),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão: \Phi(t)=P(Z\le t).

Passo 5

Como calcular numericamente:
  • Calcule z^*=\dfrac{h-10-162,5}{6,7}.
  • Use uma tabela da normal padrão ou uma calculadora/comando (por exemplo, em calculadora científica: normalcdf ou em R: pnorm(z*)) para obter \Phi(z^*).
  • Lembre que, por simetria, \Phi(-a)=1-\Phi(a), o que ajuda se você tiver só valores positivos na tabela.
Vou dar dois exemplos numéricos para ficar bem claro:
  1. Se sua altura for h=170 cm, então
z^*=\frac{170-10-162,5}{6,7}=\frac{160-162,5}{6,7}=\frac{-2,5}{6,7}\approx -0,373.
P(X\le 160)=\Phi(-0,373)\approx 0,354.
Ou seja, cerca de 35{,}4\%.
  1. Se sua altura for h=162,5 cm (ou seja, você tem a altura da média), então
z^*=\frac{162,5-10-162,5}{6,7}=\frac{-10}{6,7}\approx -1,4925,
P(X\le 152,5)=\Phi(-1,4925)\approx 0,0678,
ou seja, cerca de 6{,}78\%.

Passo 6

Resumo didático do procedimento que você deve aplicar na prova (passos práticos):
  1. Escreva P(X\le h-10).
  2. Padronize: calcule z^*=(h-10-162,5)/6,7.
  3. Consulte \Phi(z^*) (tabela ou calculadora).
    Pronto — é direto depois que você pega o jeito de padronizar.

Resposta

\displaystyle \Phi\!\left(\frac{h-10-162,5}{6,7}\right)

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