Questão 01 (Valor 2.5): Considere a função f(x)=\frac{x}{(x+1)^{2}}. Determine o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento de f, com os pontos de máximos e mínimo, se houver. Estude a concavidade e determine, se houver, os pontos de inflexão de f. Determine, se houver, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de f e esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{x}{(x+1)^{2}}
e pede: domínio, intervalos de crescimento/decrescimento e extremos, concavidade e inflexões, assíntotas verticais e horizontais e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas.

Passo 2

Para encontrar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero. Assim
(x+1)^2\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -1.
Logo
\text{Domínio} = (-\infty,-1)\,\cup\,(-1,\infty).í

Passo 3

Calculemos a primeira derivada. Usando a regra do produto com x\cdot (x+1)^{-2}, obtém-se
f'(x) =(1)\,(x+1)^{-2}+x\bigl(-2\bigl)(x+1)^{-3} =\frac{1-x}{(x+1)^{3}}.
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 \Rightarrow 1-x=0 \Rightarrow x=1. O sinal de f' é dado por
  • em (-\infty,-1): numerador >0, denominador (x+1)^3<0 \Rightarrow f'<0 (decrescente);
  • em (-1,1): numerador >0, denom >0 \Rightarrow f'>0 (crescente);
  • em (1,\infty): numerador <0, denom >0 \Rightarrow f'<0 (decrescente).
Portanto
  • f é decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
  • f é crescente em (-1,1).
    Em x=1 ocorre mudança de crescente para decrescente \Rightarrow máximo local em x=1 com
f(1)=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac14.

Passo 4

Calculemos a segunda derivada. A partir de
f'(x)=\frac{1-x}{(x+1)^3}
usando a regra do quociente chega-se a
f''(x) =\frac{2x-4}{(x+1)^4}.
Como (x+1)^4>0 exceto em x=-1, o sinal de f'' é o de 2x-4. Logo
  • para x<2: 2x-4<0 \Rightarrow f''<0 \Rightarrow côncava para baixo;
  • para x>2: 2x-4>0 \Rightarrow f''>0 \Rightarrow côncava para cima.
Há ponto de inflexão quando f''(x)=0 \Rightarrow x=2, com
f(2)=\frac{2}{3^2}=\frac{2}{9}.

Passo 5

Estudemos assíntotas:
1. Vertical em x=-1, pois o denominador zera aí. De fato
\lim_{x\to -1^\pm}f(x) =\lim_{x\to -1^\pm}\frac{x}{(x+1)^2}=-\infty.
2. Horizontal em y=0, pois para x\to\pm\infty
f(x)\sim\frac{x}{x^2}=\frac1x\to 0.
Não há assíntota oblíqua adicional, já que o grau do numerador é menor que o do denominador.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Para x < -1, o ramo é negativo, decrescente e côncavo para baixo, indo de y \to 0^- (quando x \to -\infty) até -\infty (quando x \to -1^-).
  • Para -1 < x < 1, sai de -\infty, cresce (côncavo para baixo) até o ponto (1, \frac{1}{4}).
  • Para x > 1, decresce, passa pelo ponto de inflexão em \bigl(2, \frac{2}{9}\bigr) e se aproxima de y = 0^+ por cima, permanecendo positivo.
\begin{array}{r|l} y & \\\ & \bullet \text{ em } (1, \frac{1}{4}) \\\\ 0 & \hline \to x \\\ & . \quad | \quad . \\\ & . \quad . \\\\ -\infty & \hline \bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet \quad | \quad \bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet \\\ & -1 \quad 1 \quad 2 \end{array}

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,\infty).
f decrescente em (-\infty,-1) e (1,\infty); crescente em (-1,1).
Máximo local em \bigl(1,\tfrac14\bigr); não há mínimo local.
Côncava para baixo em (-\infty,-1)\cup(-1,2); côncava para cima em (2,\infty).
Ponto de inflexão em \bigl(2,\tfrac{2}{9}\bigr).
Assíntotas: vertical x=-1; horizontal y=0.
Esboço conforme descrito acima.

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