Questão 01 (Valor 2.5): Considere a função
. Determine o domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento de
, com os pontos de máximos e mínimo, se houver. Estude a concavidade e determine, se houver, os pontos de inflexão de
. Determine, se houver, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
e esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede: domínio, intervalos de crescimento/decrescimento e extremos, concavidade e inflexões, assíntotas verticais e horizontais e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas.
Passo 2
Para encontrar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero. Assim
Logo
Passo 3
Calculemos a primeira derivada. Usando a regra do produto com
, obtém-se
Os pontos críticos vêm de
. O sinal de
é dado por
- em
: numerador , denominador (decrescente); - em
: numerador , denom (crescente); - em
: numerador , denom (decrescente).
Portanto
-
é decrescente em e em . -
é crescente em .
Emocorre mudança de crescente para decrescente máximo local em com
Passo 4
Calculemos a segunda derivada. A partir de
usando a regra do quociente chega-se a
Como
exceto em
, o sinal de
é o de
. Logo
- para
: côncava para baixo; - para
: côncava para cima.
Há ponto de inflexão quando
, com
Passo 5
Estudemos assíntotas:
Não há assíntota oblíqua adicional, já que o grau do numerador é menor que o do denominador.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Para
, o ramo é negativo, decrescente e côncavo para baixo, indo de (quando ) até (quando ). - Para
, sai de , cresce (côncavo para baixo) até o ponto . - Para
, decresce, passa pelo ponto de inflexão em e se aproxima de por cima, permanecendo positivo.
Resposta
Domínio:
.
decrescente em
e
; crescente em
.
Máximo local em ; não há mínimo local.
Côncava para baixo em ; côncava para cima em
.
Ponto de inflexão em .
Assíntotas: vertical ; horizontal
.
Esboço conforme descrito acima.
Máximo local em
Côncava para baixo em
Ponto de inflexão em
Assíntotas: vertical
Esboço conforme descrito acima.