Questão 04 (Valor 2.5): Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 \leq x \leq y e x^{2}+y^{2} \leq 2. Faça um esboço da região de rotação.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar, em torno do eixo x, a região
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le y,\;x^{2}+y^{2}\le 2\}.
O conteúdo é cálculo de volume por revolução usando o método dos discos (anéis). Primeiro vamos esboçar e determinar os limites da região.

Passo 2

No plano xy, desenhamos a circunferência x^{2}+y^{2}=2 e a reta y=x no primeiro quadrante. A interseção ocorre quando
x^{2}+x^{2}=2\;\Longrightarrow\;x=1.
Logo, para cada x em [0,1] temos
x\le y\le \sqrt{2-x^{2}}.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, cada fatia perpendicular a x é um anel de raio externo
r_{\mathrm{ext}}(x)=\sqrt{2-x^{2}}
e raio interno
r_{\mathrm{int}}(x)=x.
Pelo método dos discos, o volume é
V = \pi \int_{0}^{1}\bigl[r_{\mathrm{ext}}(x)^{2}-r_{\mathrm{int}}(x)^{2}\bigr]\,dx = \pi\int_{0}^{1}\bigl[(\sqrt{2-x^{2}})^{2}-x^{2}\bigr]\,dx = \pi\int_{0}^{1}(2-2x^{2})\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1}(2-2x^{2})\,dx = \Bigl[2x - \tfrac{2x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = 2 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3}.

Passo 5

Portanto o volume do sólido é
V = \pi \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

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