Resolva o problema de valor incial:
y "+4 y=\delta(t-\pi / 4), \quad y(0)=1 / 2, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'' + 4y = \delta\!\bigl(t - \tfrac\pi4\bigr),\quad y(0)=\tfrac12,\quad y'(0)=0.
Conteúdo: transformada de Laplace em EDs de segunda ordem e propriedade da função delta de Dirac.
Precisaremos usar:
  1. As fórmulas \mathcal{L}\{y''\} e \mathcal{L}\{y\} com condições iniciais.
  2. \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-a s}.
  3. Transformada inversa e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
\mathcal{L}\{4y\} = 4Y(s).
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(s^2+4)Y(s) - s\cdot\tfrac12 - 0 = \mathcal{L}\{\delta(t-\tfrac\pi4)\} = e^{-\frac\pi4 s}.

Passo 3

Isolando Y(s):
(s^2+4)Y(s)=\tfrac{s}{2}+e^{-\frac\pi4 s},
Y(s)=\frac{s}{2(s^2+4)}+\frac{e^{-\frac\pi4 s}}{s^2+4}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
  • \dfrac{s}{2(s^2+4)}=\tfrac12\cdot\dfrac{s}{s^2+4} inverte para \tfrac12\cos(2t).
  • \dfrac{1}{s^2+4} inverte para \tfrac12\sin(2t). Com o fator de deslocamento e^{-\frac\pi4 s}, temos
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{e^{-\frac\pi4 s}}{s^2+4}\Bigr\} = u\bigl(t-\tfrac\pi4\bigr)\,\tfrac12\sin\bigl(2(t-\tfrac\pi4)\bigr).

Passo 5

Reunindo tudo, a solução do PVI é
y(t)=\frac12\cos(2t)+\frac12\,u\bigl(t-\tfrac\pi4\bigr)\,\sin\bigl(2(t-\tfrac\pi4)\bigr).

Resposta

y(t)=\frac12\cos(2t)+\frac12\,u\!\bigl(t-\tfrac\pi4\bigr)\,\sin\!\bigl(2(t-\tfrac\pi4)\bigr).

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