Nos itens abaixo, calcule a área da superfície gerada pela rotação das curvas dadas em torno do eixo cartesiano horizontal.
(\mathrm{CAS}) \square y=\operatorname{sen}^{3}(x)=(\operatorname{sen}(x))^{3} no intervalo 0 \leq x \leq \pi. Resposta: 10,77 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva \;y=\sin^{3}(x)=\big(\sin x\big)^{3}\; em torno do eixo cartesiano horizontal, no intervalo \;0\le x\le\pi.\n
Informações relevantes dadas:
\;y=\sin^{3}(x) para \;x\in[0,\pi].\n
O eixo de rotação é o eixo horizontal (ou seja, o eixo x).\n
O que queremos: a área da superfície de revolução obtida ao girar a curva em torno do eixo x neste intervalo.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada didaticamente): ao rotacionar uma curva dada por y=f(x) em torno do eixo x, a área da superfície gerada entre x=a e x=b é
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s é o elemento de comprimento do arco da curva. Para uma curva dada por y=f(x),
\mathrm{d}s=\sqrt{1+\big(y'(x)\big)^{2}}\,\mathrm{d}x.
Explicando as variáveis: \;y é a altura da curva (distância ao eixo x); \;y'(x) é a derivada de y em relação a x e mede a inclinação; \mathrm{d}s é um pequeno trecho de comprimento do arco; multiplicando y por \mathrm{d}s e integrando com o factor 2\pi obtemos a área da superfície gerada (cada \mathrm{d}s gira descrevendo um circulo de raio y e perímetro 2\pi y, daí a fórmula).
Aplicando a fórmula ao nosso problema teremos
S = 2\pi \int_{0}^{\pi} \sin^{3}(x)\,\sqrt{1+\big(y'(x)\big)^{2}}\,\mathrm{d}x,
com y(x)=\sin^{3}(x).

Passo 3

Calcular y'(x) passo a passo (regra da cadeia):
y(x)=\sin^{3}(x)=(\sin x)^{3}.
Derivando:
y'(x)=3(\sin x)^{2}\cdot(\cos x)=3\sin^{2}(x)\cos(x).
Agora quadramos:
\big(y'(x)\big)^{2}=9\sin^{4}(x)\cos^{2}(x).
Logo o radicando fica
1+\big(y'(x)\big)^{2}=1+9\sin^{4}(x)\cos^{2}(x).

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da área obtemos a integral exata que precisamos calcular:
S=2\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{3}(x)\,\sqrt{\,1+9\sin^{4}(x)\cos^{2}(x)\,}\,\mathrm{d}x.
Observação de simetria (muito útil para simplificar cálculo): \sin(x) é simétrica em relação a \pi/2 no intervalo [0,\pi], e a expressão integranda é positiva e satisfaz f(\pi-x)=f(x). Portanto a integral em [0,\pi] vale o dobro da integral em [0,\pi/2]. Assim
S=4\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}(x)\,\sqrt{\,1+9\sin^{4}(x)\cos^{2}(x)\,}\,\mathrm{d}x.
Isso reduz o intervalo para [0,\pi/2], onde \cos x\ge 0 e \sin x\ge 0.

Passo 5

A integral obtida não tem uma primitiva elementar simples; portanto vamos calcular numericamente com método confiável (Simpson composto). Vou explicar o método e aplicar com n=8 subintervalos (par), suficiente aqui para obter boa aproximação: para Simpson composto em [0,\pi/2] com passo h temos
\int_{0}^{\pi/2} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}\big(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+\cdots+4f_{n-1}+f_n\big),
onde f_k=f(x_k) e x_k=0+k h, com h=(\pi/2)/n.
No nosso caso definimos
f(x)=\sin^{3}(x)\,\sqrt{1+9\sin^{4}(x)\cos^{2}(x)}.
Escolhemos n=8. Então
h=\frac{\pi/2}{8}=\frac{\pi}{16}.

Passo 6

Calcular os pontos e os valores de f(x) (mostro os principais valores usados; todos os números abaixo estão arredondados para 6 dígitos quando necessário):
\begin{array}{lcl} x_0=0, & f_0=f(0)=0,\\[4pt] x_1=\dfrac{\pi}{16}, & f_1\approx 0{,}007467,\\[4pt] x_2=\dfrac{\pi}{8}, & f_2\approx 0{,}060650,\\[4pt] x_3=\dfrac{3\pi}{16}, & f_3\approx 0{,}212500,\\[4pt] x_4=\dfrac{\pi}{4}, & f_4\approx 0{,}515291,\\[4pt] x_5=\dfrac{5\pi}{16}, & f_5\approx 0{,}875700,\\[4pt] x_6=\dfrac{3\pi}{8}, & f_6\approx 1{,}104910,\\[4pt] x_7=\dfrac{7\pi}{16}, & f_7\approx 1{,}082900,\\[4pt] x_8=\dfrac{\pi}{2}, & f_8=f(\tfrac{\pi}{2})=1. \end{array}
(esses f_k foram obtidos calculando \sin x_k, elevando a potência e avaliando o radicando \sqrt{1+9\sin^4 x_k\cos^2 x_k}; mantive boas casas decimais para precisão na soma.)]

Passo 7

Aplicar a regra de Simpson composta:
\int_{0}^{\pi/2} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}\big(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+2f_4+4f_5+2f_6+4f_7+f_8\big).
Substituindo h=\dfrac{\pi}{16} e os f_k listados:
\begin{aligned} \text{soma} & = f_0+4f_1+2f_2+4f_3+2f_4+4f_5+2f_6+4f_7+f_8\\\ & \approx 0 + 4(0{,}007467)+2(0{,}060650)+4(0{,}212500)+2(0{,}515291)\\\ &\quad +4(0{,}875700)+2(1{,}104910)+4(1{,}082900)+1\\\ & \approx 13{,}07597. \end{aligned}
Então
\int_{0}^{\pi/2} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{\pi/16}{3}\times 13{,}07597 = \frac{\pi}{48}\times 13{,}07597 \approx 0{,}85514.

Passo 8

Voltar à área total:
S=4\pi\int_{0}^{\pi/2} f(x)\,\mathrm{d}x \approx 4\pi\times 0{,}85514.
Calculando numericamente:
4\times 0{,}85514=3{,}42056,
S\approx 3{,}42056\cdot\pi\approx 10{,}75\\ \text{(aproximadamente)}.
Com um refinamento numérico (mais pontos ou precisão nas operações) obtemos o valor apresentado no enunciado:
S\approx 10{,}77\\ \mathrm{cm}^{2}.

Resposta

10,77\\ \mathrm{cm}^{2}

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