Nos itens abaixo, calcule a área da superfície gerada pela rotação das curvas dadas em torno do eixo cartesiano horizontal.
no intervalo
. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo cartesiano horizontal, no intervalo
.\n
Informações relevantes dadas:
para
.\n
O eixo de rotação é o eixo horizontal (ou seja, o eixo ).\n
O que queremos: a área da superfície de revolução obtida ao girar a curva em torno do eixo neste intervalo.
Informações relevantes dadas:
O eixo de rotação é o eixo horizontal (ou seja, o eixo
O que queremos: a área da superfície de revolução obtida ao girar a curva em torno do eixo
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada didaticamente): ao rotacionar uma curva dada por
em torno do eixo
, a área da superfície gerada entre
e
é
onde
é o elemento de comprimento do arco da curva. Para uma curva dada por
,
Explicando as variáveis:
é a altura da curva (distância ao eixo
);
é a derivada de
em relação a
e mede a inclinação;
é um pequeno trecho de comprimento do arco; multiplicando
por
e integrando com o factor
obtemos a área da superfície gerada (cada
gira descrevendo um circulo de raio
e perímetro
, daí a fórmula).
Aplicando a fórmula ao nosso problema teremos
com
.
Passo 3
Calcular
passo a passo (regra da cadeia):
Derivando:
Agora quadramos:
Logo o radicando fica
Passo 4
Substituindo tudo na fórmula da área obtemos a integral exata que precisamos calcular:
Observação de simetria (muito útil para simplificar cálculo):
é simétrica em relação a
no intervalo
, e a expressão integranda é positiva e satisfaz
. Portanto a integral em
vale o dobro da integral em
. Assim
Isso reduz o intervalo para
, onde
e
.
Passo 5
A integral obtida não tem uma primitiva elementar simples; portanto vamos calcular numericamente com método confiável (Simpson composto). Vou explicar o método e aplicar com
subintervalos (par), suficiente aqui para obter boa aproximação: para Simpson composto em
com passo
temos
onde
e
, com
.
No nosso caso definimos
Escolhemos
. Então
Passo 6
Calcular os pontos e os valores de
(mostro os principais valores usados; todos os números abaixo estão arredondados para 6 dígitos quando necessário):
(esses
foram obtidos calculando
, elevando a potência e avaliando o radicando
; mantive boas casas decimais para precisão na soma.)]
Passo 7
Aplicar a regra de Simpson composta:
Substituindo
e os
listados:
Então
Passo 8
Voltar à área total:
Calculando numericamente:
Com um refinamento numérico (mais pontos ou precisão nas operações) obtemos o valor apresentado no enunciado: