Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Os subespaços vetoriais U e \mathrm{U}^{\perp} de V são tais que \mathrm{V}=\mathrm{U} \oplus \mathrm{U}^{\perp}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
A afirmação é: “Os subespaços vetoriais U e U^{\perp} de V são tais que V = U \oplus U^{\perp}.”
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • Tem-se um espaço vetorial V equipado com um produto interno (caso contrário U^{\perp} não estaria definido).
  • U é um subespaço de V.
  • U^{\perp} é o complemento ortogonal de U, ou seja, o conjunto dos vetores de V ortogonais a todos os vetores de U.
O que a afirmação exige: que todo vetor de V se escreva de forma única como soma de um vetor em U e outro em U^{\perp}. Em termos de subespaços isso equivale a duas condições:
  1. U \cap U^{\perp} = \{0\} (interseção trivial);
  2. U + U^{\perp} = V (a soma gera todo V).

Passo 2

Definição e primeira observação (interseção trivial).
Definição do complemento ortogonal: U^{\perp} = \{v\in V \mid \langle v,u\rangle = 0 \text{ para todo } u\in U\},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno em V.
Mostro que sempre vale \;U\cap U^{\perp}=\{0\}. Tome x\in U\cap U^{\perp}. Então x\in U e x\in U^{\perp}, logo \langle x,x\rangle = 0 porque x é ortogonal a todos os vetores de U, em particular a si mesmo. Pelo fato do produto interno ser definido positivo segue \langle x,x\rangle=0 \Rightarrow x=0. Portanto U\cap U^{\perp}=\{0\}.
Conclusão: a condição de interseção trivial já é sempre satisfeita, sem hipótese adicional.

Passo 3

O ponto crucial é saber se a soma U+U^{\perp} é igual a V. Vou mostrar duas coisas: (A) quando V tem dimensão finita então sim, U+U^{\perp}=V e portanto V=U\oplus U^{\perp}; (B) em dimensão infinita a igualdade pode falhar — dou um contraexemplo concreto.

Passo 4

Caso finito-dimensional — prova construtiva usando Gram–Schmidt (por que funciona na prática).
Suponha \dim V < \infty. Seja \dim U = k. Escolha uma base any da subvariedade U e aplique o processo de Gram–Schmidt para obter um sistema ortonormal \{u_1,\dots,u_k\} que gera U. Como \dim V é finita, essa família ortonormal pode ser estendida a uma base ortonormal de V, ou seja existe uma família ortonormal \{u_1,\dots,u_k,w_1,\dots,w_m\} que é base de V (onde m=\dim V-k).
Agora observe:
  • Qualquer combinação linear dos vetores \{u_1,\dots,u_k\} está em U.
  • Qualquer combinação linear dos vetores \{w_1,\dots,w_m\} é ortogonal a todos os u_i, logo pertence a U^{\perp}.
  • Assim \operatorname{span}\{w_1,\dots,w_m\}\subseteq U^{\perp}. Pelo cálculo das dimensões (dimensão de U^{\perp} é \dim V - \dim U) segue na verdade \operatorname{span}\{w_1,\dots,w_m\}=U^{\perp}.
Como a família \{u_1,\dots,u_k,w_1,\dots,w_m\} gera todo V, qualquer vetor v\in V escreve-se como soma de algo em U e algo em U^{\perp}. Juntando com a interseção trivial já provada, obtemos a decomposição direta V = U \oplus U^{\perp}.
Portanto, se V é de dimensão finita, a afirmação é verdadeira.
Observação intuitiva: em finito-dimensão sempre se consegue estender uma base ortonormal de U para uma base ortonormal de V; os vetores extras geram exatamente U^{\perp}.

Passo 5

Contraexemplo em dimensão infinita — por que a afirmação pode ser falsa.
Considere \ell^2, o espaço de sequências reais (ou complexas) de quadrado somável, com o produto interno usual \langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n}. Seja U o subespaço das sequências de suporte finito (isto é, todas as sequências que têm apenas um número finito de coordenadas não nulas). Denotemos esse conjunto por
U = \{x\in \ell^2 \mid x_n = 0 \text{ para todos, exceto finitos, } n\}.
Propriedades importantes:
  • U é um subespaço de \ell^2.
  • U é denso em \ell^2 (qualquer sequência em \ell^2 pode ser aproximada por truncamentos de suporte finito).
  • Se v\in \ell^2 é ortogonal a todos os vetores de U, então em particular é ortogonal aos vetores da base canônica e_n (cada e_n tem suporte finito), então \langle v,e_n\rangle = v_n = 0 para todo n. Logo v é a sequência zero. Assim U^{\perp}=\{0\}.
Logo U+U^{\perp}=U+\{0\}=U, que não é igual a \ell^2 pois U é apenas denso, não igual. Portanto U+U^{\perp}\neq V neste exemplo; a soma não gera todo V e, consequentemente, não existe a decomposição V=U\oplus U^{\perp}.
Este contraexemplo mostra que, sem a hipótese de dimensão finita (ou sem a hipótese de U ser fechado em um espaço de Hilbert), a afirmação pode ser falsa.

Passo 6

Resumo e interpretação prática para a prova (como decidir rápido):
  • Sempre lembrE: U\cap U^{\perp}=\{0\} vale para qualquer espaço com produto interno.
  • O que pode falhar é U+U^{\perp}=V.
  • Regra prática:
    • Se V tem dimensão finita (caso típico em Álgebra Linear), então a afirmação é verdadeira: V=U\oplus U^{\perp}.
    • Se V for infinito-dimensional, não dá para afirmar em geral; precisa saber se U é fechado (em espaços de Hilbert, tem-se V=\overline{U}\oplus U^{\perp}). Sem ser fechado, a soma pode não cobrir V.
Se na sua prova o enunciado não especifica dimensão, o correto é observar isso e apontar que a afirmação, tal como escrita (sem hipóteses), é falsa em geral — e então dar o contraexemplo ou mencionar a condição extra necessária (dimensão finita ou U fechado).
Força aí — se tiver uma questão parecida na prova, antes de afirmar que a decomposição vale cheque: “dimensão finita?” ou “U é fechado?”.

Resposta

F

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