Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Todo vetor
se escreve de maneira única como
onde
e
( ) Todo vetor
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justificar a resposta:
“Todo vetor
se escreve de maneira única como
onde
e
.”
Informações relevantes que o enunciado dá (assumindo o contexto padrão):
-
e são subespaços de um mesmo espaço vetorial . - A afirmação trata da unicidade da decomposição de um vetor
que pertence à soma .
Passo 2
Vou lembrar o que é a soma de subespaços e a interseção, de forma bem direta:
-
Definição de soma:Ou seja,
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de e um vetor de . -
Definição de interseção:A interseção contém os vetores que pertencem simultaneamente a
e a .
Essas definições servem para pensar sobre a possibilidade de escrever um mesmo vetor
de modos diferentes como
.
Passo 3
Mostro primeiro que, em geral, a afirmação é falsa dando um contraexemplo concreto (mais fácil de visualizar):
Considere
e defina
Então
é a reta
-axis. Nesse caso
(a mesma reta). Pegue o vetor
Duas decomposições possíveis são
e também
onde em ambas as somas os somandos pertencem a
(e também a
). As duas decomposições são diferentes (por exemplo, os componentes
não coincidem), logo a representação não é única. Portanto a afirmação “todo vetor se escreve de maneira única” é falsa em geral.
Passo 4
Agora apresento a condição necessária e suficiente para que a decomposição seja única — isto é útil para a prova e para a prova na prova. A afirmação correta é:
“A decomposição
é única para todo
se, e somente se,
.”
Quando dizemos que
(soma direta) e aí cada
tem decomposição única.
Quando
Vou provar as duas implicações claramente.
Passo 5
Prova de que
implica unicidade:
Suponha que
. Seja
e suponha que existam duas decomposições
com
e
. Subtraindo membro a membro obtemos
Reescrevendo,
O lado esquerdo pertence a
(porque
é subespaço) e o lado direito pertence a
. Assim
. Pela hipótese
, segue
, logo
. Substituindo de volta temos
. Portanto a decomposição é única.
Passo 6
Prova da recíproca: unicidade implica
:
Suponha que toda decomposição
seja única. Tome qualquer vetor
. Então
e
. Observe que o vetor nulo tem duas decomposições:
e
Pela hipótese de unicidade essas duas decomposições devem coincidir termo a termo, em particular
. Assim qualquer
é o vetor zero, ou seja
.
Passo 7
Resumo e conclusão: a afirmação original é falsa em geral. A representação é única exatamente no caso especial em que
(quando dizemos que
e
somam diretamente:
). Se
a decomposição pode falhar em ser única, como mostrado no contraexemplo.
Resposta
F