Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Todo vetor \mathrm{v} \in \mathrm{U}+\mathrm{W} se escreve de maneira única como \mathrm{v}=\mathrm{u}+\mathrm{w} onde \mathrm{u} \in \mathrm{U} e \mathrm{w} \in \mathrm{W}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e justificar a resposta:
“Todo vetor \,v\in U+W\, se escreve de maneira única como \,v=u+w\, onde \,u\in U\, e \,w\in W\,.”
Informações relevantes que o enunciado dá (assumindo o contexto padrão):
  • U e W são subespaços de um mesmo espaço vetorial V.
  • A afirmação trata da unicidade da decomposição de um vetor v que pertence à soma U+W.

Passo 2

Vou lembrar o que é a soma de subespaços e a interseção, de forma bem direta:
  • Definição de soma:
    U+W=\{\,u+w \mid u\in U,\; w\in W\,\}.
    Ou seja, U+W é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de U e um vetor de W.
  • Definição de interseção:
    U\cap W=\{\,x\in V \mid x\in U \text{ e } x\in W\,\}.
    A interseção contém os vetores que pertencem simultaneamente a U e a W.
Essas definições servem para pensar sobre a possibilidade de escrever um mesmo vetor v de modos diferentes como u+w.

Passo 3

Mostro primeiro que, em geral, a afirmação é falsa dando um contraexemplo concreto (mais fácil de visualizar):
Considere V=\mathbb{R}^2 e defina
U=\operatorname{span}\{(1,0)\},\qquad W=\operatorname{span}\{(1,0)\}.
Então U=W é a reta x-axis. Nesse caso U+W=U (a mesma reta). Pegue o vetor
v=(1,0)\in U+W.
Duas decomposições possíveis são
v=(1,0)=(1,0)+(0,0)
e também
v=(1,0)=\left(\tfrac{1}{2},0\right)+\left(\tfrac{1}{2},0\right),
onde em ambas as somas os somandos pertencem a U (e também a W). As duas decomposições são diferentes (por exemplo, os componentes u não coincidem), logo a representação não é única. Portanto a afirmação “todo vetor se escreve de maneira única” é falsa em geral.

Passo 4

Agora apresento a condição necessária e suficiente para que a decomposição seja única — isto é útil para a prova e para a prova na prova. A afirmação correta é:
“A decomposição v=u+w é única para todo v\in U+W se, e somente se, U\cap W=\{0\}.”
Quando U\cap W=\{0\} dizemos que U\oplus W (soma direta) e aí cada v\in U+W tem decomposição única.
Vou provar as duas implicações claramente.

Passo 5

Prova de que U\cap W=\{0\} implica unicidade:
Suponha que U\cap W=\{0\}. Seja v\in U+W e suponha que existam duas decomposições
v=u_1+w_1=u_2+w_2,
com u_1,u_2\in U e w_1,w_2\in W. Subtraindo membro a membro obtemos
0=(u_1-u_2)+(w_1-w_2).
Reescrevendo,
u_1-u_2=-(w_1-w_2).
O lado esquerdo pertence a U (porque U é subespaço) e o lado direito pertence a W. Assim u_1-u_2\in U\cap W. Pela hipótese U\cap W=\{0\}, segue u_1-u_2=0, logo u_1=u_2. Substituindo de volta temos w_1=w_2. Portanto a decomposição é única.

Passo 6

Prova da recíproca: unicidade implica U\cap W=\{0\}:
Suponha que toda decomposição v=u+w seja única. Tome qualquer vetor x\in U\cap W. Então x\in U e x\in W. Observe que o vetor nulo tem duas decomposições:
0 = x + (-x)\quad\text{(com }x\in U,\\\ -x\in W\text{)}
e
0 = 0 + 0\quad\text{(com }0\in U,\\\ 0\in W\text{)}.
Pela hipótese de unicidade essas duas decomposições devem coincidir termo a termo, em particular x=0. Assim qualquer x\in U\cap W é o vetor zero, ou seja U\cap W=\{0\}.

Passo 7

Resumo e conclusão: a afirmação original é falsa em geral. A representação é única exatamente no caso especial em que U\cap W=\{0\} (quando dizemos que U e W somam diretamente: U\oplus W). Se U\cap W\neq\{0\} a decomposição pode falhar em ser única, como mostrado no contraexemplo.

Resposta

F

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