Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Se V
então a base de V é dada pela reunião das bases de U e de W
( ) Se V
Passo 1
O enunciado dá a afirmação: "Se
então a base de
é dada pela reunião das bases de
e de
".
O que é pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
-
e são subespaços de um espaço vetorial . - Está assumido que
(soma direta).
Passo 2
Explicar o significado de
.
Por definição, significa duas coisas simultaneamente:
Por definição,
e
Aqui
. A segunda condição diz que a interseção entre
e
contém só o vetor nulo. Essas duas propriedades implicam que toda
tem decomposição única
com
e
.
Passo 3
O que precisamos mostrar (plano): tomar uma base de
, digamos
, e uma base de
, digamos
, e provar que a união
é uma base de
. Para ser base, a união deve (i) gerar
e (ii) ser linearmente independente. Vou provar os dois itens passo a passo.
Passo 4
Provar que
gera
.
Seja . Como
, existe
e
tais que
.
Como é base de
, existe combinação linear dos vetores de
que dá
. Escrevendo isso:
Seja
Como
De modo análogo, como
é base de
,
Somando,
ou seja,
é combinação linear dos vetores em
. Portanto a união gera
.
Passo 5
Provar que
é linearmente independente.
Suponha que exista uma combinação linear nula envolvendo vetores das duas bases:
Suponha que exista uma combinação linear nula envolvendo vetores das duas bases:
com
e
. Reescrevendo,
O lado esquerdo pertence a
(pois é combinação de vetores de
) e o lado direito pertence a
. Portanto o vetor comum pertence a
. Como
, temos
; daí
Mas
e
são bases, logo cada uma é linearmente independente; assim todos os coeficientes
e
são zeros. Concluímos que a única combinação linear que dá zero é a trivial, ou seja, a união é linearmente independente.
Passo 6
Concluir que
é base de
.
Juntando os resultados dos passos anteriores: a união gera e é linearmente independente; portanto é uma base de
. Consequentemente vale também a fórmula para dimensões:
Juntando os resultados dos passos anteriores: a união gera
Passo 7
Comentário final e observação sobre enunciado ambíguo.
A afirmação original escrita de forma coloquial "a base de é dada pela reunião das bases de
e de
" deve ser entendida como: "uma base de
pode ser obtida juntando uma base de
com uma base de
". Isso é verdadeiro. Obs.: não existe uma única base de
(bases não são únicas), mas qualquer base de
unida a qualquer base de
dá uma base de
quando
.
A afirmação original escrita de forma coloquial "a base de
Resposta
V