Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Se V =\mathrm{U} \oplus \mathrm{W} então a base de V é dada pela reunião das bases de U e de W

Passo 1

O enunciado dá a afirmação: "Se V = U \oplus W então a base de V é dada pela reunião das bases de U e de W".
O que é pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar rigorosamente a resposta.
Informações relevantes fornecidas:
  • U e W são subespaços de um espaço vetorial V.
  • Está assumido que V = U \oplus W (soma direta).

Passo 2

Explicar o significado de V = U \oplus W.
Por definição, V = U \oplus W significa duas coisas simultaneamente:
U+W = V
e
U\cap W=\{0\}.
Aqui U+W=\{u+w \mid u\in U,\;w\in W\}. A segunda condição diz que a interseção entre U e W contém só o vetor nulo. Essas duas propriedades implicam que toda v\in V tem decomposição única v=u+w com u\in U e w\in W.

Passo 3

O que precisamos mostrar (plano): tomar uma base de U, digamos \mathcal{B}_U, e uma base de W, digamos \mathcal{B}_W, e provar que a união \mathcal{B}_U\cup\mathcal{B}_W é uma base de V. Para ser base, a união deve (i) gerar V e (ii) ser linearmente independente. Vou provar os dois itens passo a passo.

Passo 4

Provar que \mathcal{B}_U\cup\mathcal{B}_W gera V.
Seja v\in V. Como V=U+W, existe u\in U e w\in W tais que v=u+w.
Como \mathcal{B}_U é base de U, existe combinação linear dos vetores de \mathcal{B}_U que dá u. Escrevendo isso:
u=\sum_{i} \alpha_i u_i,\quad\text{com }u_i\in\mathcal{B}_U.
De modo análogo, como \mathcal{B}_W é base de W,
w=\sum_{j} \beta_j w_j,\quad\text{com }w_j\in\mathcal{B}_W.
Somando,
v=u+w=\sum_{i}\alpha_i u_i+\sum_{j}\beta_j w_j,
ou seja, v é combinação linear dos vetores em \mathcal{B}_U\cup\mathcal{B}_W. Portanto a união gera V.

Passo 5

Provar que \mathcal{B}_U\cup\mathcal{B}_W é linearmente independente.
Suponha que exista uma combinação linear nula envolvendo vetores das duas bases:
\sum_{i}\alpha_i u_i+\sum_{j}\beta_j w_j=0,
com u_i\in\mathcal{B}_U e w_j\in\mathcal{B}_W. Reescrevendo,
\sum_{i}\alpha_i u_i = -\sum_{j}\beta_j w_j.
O lado esquerdo pertence a U (pois é combinação de vetores de U) e o lado direito pertence a W. Portanto o vetor comum pertence a U\cap W. Como V=U\oplus W, temos U\cap W=\{0\}; daí
\sum_{i}\alpha_i u_i = 0 \quad\text{e}\quad \sum_{j}\beta_j w_j = 0.
Mas \mathcal{B}_U e \mathcal{B}_W são bases, logo cada uma é linearmente independente; assim todos os coeficientes \alpha_i e \beta_j são zeros. Concluímos que a única combinação linear que dá zero é a trivial, ou seja, a união é linearmente independente.

Passo 6

Concluir que \mathcal{B}_U\cup\mathcal{B}_W é base de V.
Juntando os resultados dos passos anteriores: a união gera V e é linearmente independente; portanto é uma base de V. Consequentemente vale também a fórmula para dimensões:
\dim V=\dim U+\dim W.

Passo 7

Comentário final e observação sobre enunciado ambíguo.
A afirmação original escrita de forma coloquial "a base de V é dada pela reunião das bases de U e de W" deve ser entendida como: "uma base de V pode ser obtida juntando uma base de U com uma base de W". Isso é verdadeiro. Obs.: não existe uma única base de V (bases não são únicas), mas qualquer base de U unida a qualquer base de W dá uma base de V quando V=U\oplus W.

Resposta

V

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