Questão 02: (10 pontos) Avalie e calcule:
integral0^1 arccos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 arccos(x),dx
O método mais direto é usar integração por partes, que vem do Teorema de Barrow para produtos:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = arccos(x), dv = dx
Então
du = -1raiz1 - x^2,dx, v = x

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes:
integral0^1 arccos(x),dx = l[x,arccos(x)r]0^1 - integral0^1 x!l(-tfrac1raiz1 - x^2r),dx
Note que
l[x,arccos(x)r]0^1 = 1cdot arccos(1) - 0cdot arccos(0) = 0 - 0 = 0,
logo resta
integral0^1 arccos(x),dx = integral0^1 xraiz1 - x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral0^1 xraiz1 - x^2,dx,
fazemos a substituição w = 1 - x^2, de modo que dw = -2x,dx, ou x,dx = -tfrac12dw. Quando x vai de 0 a 1, w vai de 1 a 0. Assim,
integral0^1 xraiz1 - x^2,dx = integralw=1^0 -tfrac12,dwraizw = 12 integral0^1 w^-tfrac12,dw = 12 l[2,w^tfrac12r]0^1 = l[w^tfrac12r]0^1 = 1

Resposta

integral0^1 arccos(x),dx = 1

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