Questão 01: (8 pontos) Seja R a região delimitada pelas curvas y=-x^2+4 x e y=x
a) Esboce a região R e calcule a área desta região R .
b) Calcule o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno do eixo-x.
c) ESCREVA o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno da reta y=5.
d) Calcule o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno da reta x=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a região R limitada pelas curvas
y = -x^2 + 4x
e
y = x,
e pede (a) a área dessa região, (b) o volume ao girá-la em torno do eixo- x, (c) o volume ao girá-la em torno da reta y=5 e (d) o volume ao girá-la em torno da reta x=-1.
Vamos usar integrais definidas para calcular área e volumes pelos métodos dos discos (ou anéis) e dos casquilhos cilíndricos.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
-x^2+4x = x Longrightarrow -x^2+3x = 0 Longrightarrow x,l(3 - xr)=0
logo x=0 ou x=3. Nesses pontos y=0 e y=3.
A área de R é
A = integral0^3 l[(-x^2+4x) - xr],dx = integral0^3 (-x^2+3x),dx
Calculando,
integral0^3(-x^2+3x),dx = l[-tfracx^33 + tfrac3x^22r]0^3 = l(-9 + tfrac272r) = tfrac92

Passo 3

Para girar R em torno do eixo- x, usamos discos com raio externo
f(x) = -x^2+4x
e interno
g(x)=x.
O volume é
Vx = pi integral0^3 l[f(x)^2 - g(x)^2r],dx = pi integral0^3 l[(-x^2+4x)^2 - x^2r]dx
Expandindo e integrando, chega-se a
Vx = 108pi5

Passo 4

Para girar R em torno da reta y=5, cada fatia em x gera um anel de raio externo
R(x)=5 - x
(e a linha y=x está abaixo) e raio interno
r(x)=5 - l(-x^2+4xr).
O volume é
Vy=5 = pi integral0^3 l[(5 - x)^2 - l(5 - (-x^2+4x)r)^2r],dx
Fazendo a expansão e a integral, obtém-se
Vy=5 = 117pi5

Passo 5

Para girar R em torno da reta x=-1 usamos casquilhos cilíndricos:
o raio de cada casquilho é rho(x)=x+1 e a altura é
h(x)=l(-x^2+4xr) - x = -x^2+3x
O volume é
Vx=-1 = 2pi integral0^3 rho(x),h(x),dx = 2pi integral0^3 (x+1),(-x^2+3x),dx
Calculando a integral, achamos
Vx=-1 = 45pi2

Resposta

a) tfrac92
b) tfrac108pi5
c) tfrac117pi5
d) tfrac45pi2

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