Questão 01: (8 pontos) Seja R a região delimitada pelas curvas
a) Esboce a região R e calcule a área desta região R .
b) Calcule o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno do eixo-x.
c) ESCREVA o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno da reta
.
d) Calcule o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno da reta
.
a) Esboce a região R e calcule a área desta região R .
b) Calcule o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno do eixo-x.
c) ESCREVA o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno da reta
d) Calcule o volume do sólido produzido com o giro da região R em torno da reta
Passo 1
O enunciado nos dá a região
limitada pelas curvas
e
e pede (a) a área dessa região, (b) o volume ao girá-la em torno do eixo-
, (c) o volume ao girá-la em torno da reta
e (d) o volume ao girá-la em torno da reta
.
Vamos usar integrais definidas para calcular área e volumes pelos métodos dos discos (ou anéis) e dos casquilhos cilíndricos.
Vamos usar integrais definidas para calcular área e volumes pelos métodos dos discos (ou anéis) e dos casquilhos cilíndricos.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção resolvendo
logo
ou
. Nesses pontos
e
.
A área de é
A área de
Calculando,
Passo 3
Para girar
em torno do eixo-
, usamos discos com raio externo
e interno
.
O volume é
e interno
O volume é
Expandindo e integrando, chega-se a
Passo 4
Para girar
em torno da reta
, cada fatia em
gera um anel de raio externo
(e a linha está abaixo) e raio interno
.
O volume é
(e a linha
O volume é
Fazendo a expansão e a integral, obtém-se
Passo 5
Para girar
em torno da reta
usamos casquilhos cilíndricos:
o raio de cada casquilho é e a altura é
o raio de cada casquilho é
O volume é
Calculando a integral, achamos
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)