QUESTÃO 02: Água quente escoa no interior de uma tubulação cilíndrica, de raios \mathrm{R}_{\mathrm{i}}=1 \mathrm{~cm} e \mathrm{R}_{\mathrm{e}}=1,3 \mathrm{~cm}, constituída de aço com condutividade térmica \mathrm{K}_{\text {aço }}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}ç. A superfície interna deste duto permanece à temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=90^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} ar ambiente ao redor da tubulação permanece com temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{ar}}=25^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de transferência de calor por convecção \mathrm{h}_{\mathrm{ar}}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}. Determine o calor perdido para uma quantidade de isolante do tamanho do raio crítico de isolamento. (3 pontos)

Passo 1

O enunciado trata de fluxo de calor em regime permanente através de um cilindro oco (parede de aço) com condução radial no metal seguida de convecção no ar. Dados por metro de comprimento: \mathrm{R}_{i}=1\,\mathrm{cm}=0,01\,\mathrm{m}, k_{\text{aço}}=40\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\circ\mathrm{C})ç, T_{i}=90\,\circ\mathrm{C}, T_{\mathrm{ar}}=25\,\circ\mathrm{C}, h_{\mathrm{ar}}=5\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\circ\mathrm{C}). Vamos determinar a perda de calor por metro de tubo quando adicionamos isolante até o raio crítico.

Passo 2

O raio crítico de isolamento em coordenadas cilíndricas é dado por
r_{\mathrm{cr}}=\frac{k}{h}\,,
onde k é a condutividade do material que reveste e h o coeficiente de convecção externo. Aqui usamos o aço como “isolante”:
r_{\mathrm{cr}}=\frac{40}{5}=8{,}0\;\mathrm{m}\,.

Passo 3

Para comprimento unitário L=1\,\mathrm{m} as resistências térmicas em série são
R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\bigl(r_{e}/r_{i}\bigr)}{2\pi k L} \quad\text{e}\quad R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi r_{e}L}
com r_{e}=r_{\mathrm{cr}}=8{,}0\,\mathrm{m}.

Passo 4

Calculando numericamente:
\ln\bigl(8{,}0/0{,}01\bigr)=\ln(800)\approx6{,}6846,
R_{\mathrm{cond}}=\frac{6{,}6846}{2\pi\cdot40}\approx0{,}0266\;{K/W}, \quad R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{5\cdot2\pi\cdot8{,}0}\approx0{,}00398\;{K/W}.
Logo R_{\mathrm{tot}}=0{,}0266+0{,}00398=0{,}0306\;{K/W}.

Passo 5

A taxa de calor por metro de tubo é
\dot Q=\frac{T_{i}-T_{\mathrm{ar}}}{R_{\mathrm{tot}}} =\frac{90-25}{0{,}0306}\approx2{,}13\times10^{3}\;\mathrm{W/m}.

Resposta

A perda de calor por metro de tubo, com isolante até o raio crítico, é aproximadamente 2{,}13\times10^{3}\,\mathrm{W/m}.

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