Questäo 1. ( 1,5 pts) Água é borrifada para baixo a 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} através de um furo de 10 mm de diámetro. Qual é a força atuante sobre uma placa perpendicular ao jato imediatamente fora do bocal? Se a placa for colocada 4 m abaixo da abertura do jato, qual será a força atuante sobre ela?

Passo 1

O enunciado diz que a água sai para baixo com velocidade inicial v_0=1\\ \mathrm{m/s} por um furo de diâmetro d=10\\ \mathrm{mm}. Queremos a força que a água exerce sobre uma placa perpendicular ao jato, usando o princípio da quantidade de movimento (momento): como a água bate e para na placa, ela transfere toda a sua quantidade de movimento por segundo, gerando uma força F=\dot m\,v.

Passo 2

Calcular a vazão mássica \dot m. Primeiro a área do furo:
A_0 = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2 = \pi\Bigl(\frac{0{,}01}{2}\Bigr)^2 = \pi\cdot(0{,}005)^2 \approx 1{,}5708\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Como \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e v_0=1\\ \mathrm{m/s},
\dot m = \rho\,A_0\,v_0 = 1000\cdot1{,}5708\times10^{-4}\cdot1 \approx 0{,}15708\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Imediatamente fora do bocal a velocidade é v=v_0. A força é
F_1 = \dot m\,v_0 = 0{,}15708\cdot1 \approx 0{,}157\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Quando a placa fica H=4\\ \mathrm{m} abaixo, a água acelera pela gravidade. Pela conservação de energia (ou queda livre),
v = \sqrt{v_0^2 + 2\,g\,H} = \sqrt{1^2 + 2\cdot9{,}81\cdot4} \approx \sqrt{79{,}48} \approx 8{,}92\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A vazão mássica continua \dot m=0{,}15708\\ \mathrm{kg/s}, mas agora v\approx8{,}92\\ \mathrm{m/s}. A força passa a ser
F_2 = \dot m\,v = 0{,}15708\cdot8{,}92 \approx 1{,}40\\ \mathrm{N}.

Resposta

Imediatamente após o bocal: F\approx0,157\\ \mathrm{N}.
A 4\\ \mathrm{m} abaixo: F\approx1,40\\ \mathrm{N}.

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