QUESTÃO 02 : Avalie os limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{4}+x^{3}-3 x^{2}-x+1}{x^{2}+5 x-6}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{2x^{4}+x^{3}-3x^{2}-x+1}{x^{2}+5x-6}.
Informações dadas: o numerador é o polinômio \;2x^{4}+x^{3}-3x^{2}-x+1\; e o denominador é o polinômio \;x^{2}+5x-6\;. Queremos o valor do limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Teste de substituição direta (para ver se já é possível calcular o limite substituindo x=1): calcule o numerador e o denominador em x=1.
\text{Numerador em }x=1:\;2\cdot1^{4}+1^{3}-3\cdot1^{2}-1+1=2+1-3-1+1=0.
\text{Denominador em }x=1:\;1^{2}+5\cdot1-6=1+5-6=0.
Como ambos dão 0, a expressão tem a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta — precisamos simplificar a expressão algébricamente.

Passo 3

Ideia para resolver a indeterminação: fatorar polinômios e cancelar fatores comuns. Conceito usado: se um polinômio p(x) satisfaz p(1)=0, então (x-1) é um fator de p(x) (teorema do resto / fator). Para extrair esse fator do numerador, fazemos divisão sintética (Ruffini) do polinômio do numerador por (x-1).
Coeficientes do numerador \;2x^{4}+x^{3}-3x^{2}-x+1\; são, em ordem: 2,\;1,\;-3,\;-1,\;1.
Aplicando divisão sintética por x-1 (ou seja, usar 1 como raiz):
Apresento o cálculo passo a passo:
\begin{array}{r|rrrrr} 1 & 2 & 1 & -3 & -1 & 1\\hline & & 2 & 3 & 0 & -1\\hline & 2 & 3 & 0 & -1 & 0 \end{array}
Interpretação: trazemos 2, multiplicamos por 1 e somamos sucessivamente. O resto é 0, então a divisão é exata e o quociente tem coeficientes 2,\;3,\;0,\;-1, isto é, o polinômio de grau 3
2x^{3}+3x^{2}+0x-1 = 2x^{3}+3x^{2}-1.
Portanto podemos escrever
2x^{4}+x^{3}-3x^{2}-x+1 = (x-1)\bigl(2x^{3}+3x^{2}-1\bigr).

Passo 4

Fatore o denominador \;x^{2}+5x-6\;. Procure dois números cuja soma seja 5 e produto seja -6. Esses números são 6 e -1. Logo
x^{2}+5x-6=(x+6)(x-1).
Verificação rápida: (x+6)(x-1)=x^{2}-x+6x-6=x^{2}+5x-6, ok.

Passo 5

Substitua as fatorações na expressão do limite:
\frac{2x^{4}+x^{3}-3x^{2}-x+1}{x^{2}+5x-6}=\frac{(x-1)\bigl(2x^{3}+3x^{2}-1\bigr)}{(x-1)(x+6)}.
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator (x-1), ficando a função equivalente
\frac{2x^{3}+3x^{2}-1}{x+6}\quad\text{para }x\neq 1.
Explicação conceitual: o cancelamento remove a descontinuidade removível em x=1. Como o limite só se preocupa com o comportamento quando x se aproxima de 1 (e não com o valor no próprio x=1), podemos trabalhar com a função simplificada para obter o limite.

Passo 6

Agora podemos calcular o limite substituindo x=1 na função simplificada (já que não há mais indeterminação):
\lim_{x\to 1}\frac{2x^{3}+3x^{2}-1}{x+6}=\frac{2\cdot1^{3}+3\cdot1^{2}-1}{1+6}=\frac{2+3-1}{7}=\frac{4}{7}.
Portanto o limite existe e vale \frac{4}{7}.

Resposta

\dfrac{4}{7}

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