QUESTÃO 02 : Avalie os limites.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: o numerador é o polinômio
e o denominador é o polinômio
. Queremos o valor do limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Teste de substituição direta (para ver se já é possível calcular o limite substituindo
): calcule o numerador e o denominador em
.
Como ambos dão
, a expressão tem a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta — precisamos simplificar a expressão algébricamente.
Passo 3
Ideia para resolver a indeterminação: fatorar polinômios e cancelar fatores comuns. Conceito usado: se um polinômio
satisfaz
, então
é um fator de
(teorema do resto / fator). Para extrair esse fator do numerador, fazemos divisão sintética (Ruffini) do polinômio do numerador por
.
Coeficientes do numerador
são, em ordem:
.
Aplicando divisão sintética por (ou seja, usar
como raiz):
Aplicando divisão sintética por
Apresento o cálculo passo a passo:
Interpretação: trazemos
, multiplicamos por
e somamos sucessivamente. O resto é
, então a divisão é exata e o quociente tem coeficientes
, isto é, o polinômio de grau 3
Portanto podemos escrever
Passo 4
Fatore o denominador
. Procure dois números cuja soma seja
e produto seja
. Esses números são
e
. Logo
Verificação rápida:
, ok.
Passo 5
Substitua as fatorações na expressão do limite:
Para
podemos cancelar o fator
, ficando a função equivalente
Explicação conceitual: o cancelamento remove a descontinuidade removível em
. Como o limite só se preocupa com o comportamento quando
se aproxima de
(e não com o valor no próprio
), podemos trabalhar com a função simplificada para obter o limite.
Passo 6
Agora podemos calcular o limite substituindo
na função simplificada (já que não há mais indeterminação):
Portanto o limite existe e vale
.