QUESTÃO 02 : Avalie os limites.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}+x^{2}+1}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o limite
\lim_{x\to3}\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x+1}.
Informações dadas que importam: o numerador é o polinômio x^{3}+x^{2}+1 e o denominador é o polinômio x+1. O ponto de aproximação é x=3. Note que o denominador é zero em x=-1, mas em x=3 temos x+1\neq0, então não há indeterminação óbvia no ponto de interesse.

Passo 2

Conceito importante (explicado devagarinho): polinômios são funções contínuas em todo lugar. Isso significa que, se eu tenho um polinômio p(x), então
\lim_{x\to a} p(x)=p(a)
para qualquer a. Uma razão (quociente) de polinômios é contínua em pontos onde o denominador não é zero. Ou seja, se q(x) é polinômio e q(a)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.
Aqui o numerador e o denominador são polinômios e, como verificado no Passo 1, x+1 em x=3 vale 4\neq0. Portanto podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=3 na expressão.

Passo 3

Aplicando a substituição direta (passo a passo das contas):
calcule o numerador em x=3:
3^{3}+3^{2}+1 = 27+9+1.
Agora some:
27+9=36,\qquad 36+1=37.
Calcule o denominador em x=3:
3+1=4.
Portanto, por continuidade,
\lim_{x\to3}\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x+1}=\frac{37}{4}.

Passo 4

Método alternativo (útil para entender estrutura): fazer a divisão do polinômio x^{3}+x^{2}+1 por x+1. Dividindo obtemos
x^{3}+x^{2}+1=(x+1)\cdot x^{2}+1,
ou seja
\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x+1}=x^{2}+\frac{1}{x+1}.
Isso mostra a mesma coisa de forma explícita: ao calcular o limite quando x\to3,
\lim_{x\to3}\left(x^{2}+\frac{1}{x+1}\right)=3^{2}+\frac{1}{3+1}=9+\frac{1}{4}=\frac{37}{4},
confirmando o resultado. Essa alternativa ajuda a ver que não havia nenhuma indeterminação do tipo \frac{0}{0}.

Passo 5

Resumo final com incentivo: substituímos direto porque a função é contínua em x=3 (denominador diferente de zero), fizemos as contas com calma e obtemos \dfrac{37}{4}. Mandou bem por trazer a questão — você consegue com mais umas práticas assim!

Resposta

\dfrac{37}{4}

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