QUESTÃO 03 : Encontre
para que o limite
exista e depois o calcule.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar
de modo que o limite
exista (ou seja, seja finito), e (2) calcular esse limite para o
encontrado. As informações dadas são apenas o numerador e o denominador polinomiais acima.
Passo 2
Observação inicial sobre limites de funções racionais: se ao avaliar diretamente em
o denominador for zero, para que o limite exista (finito) é necessário que o numerador também seja zero em
; nesse caso ambos têm um fator
e podemos simplificar. Se o numerador não for zero, o quociente costuma divergir (não ter limite finito). Então primeiro vamos checar o valor do denominador em
.
Passo 3
Calcule o denominador em
:
Portanto o denominador anula em
. Para o limite ser finito precisamos que o numerador também se anule em
. Vamos calcular o numerador em
e impor que seja zero.
Passo 4
Avalie o numerador em
:
Impondo que seja zero:
Logo o único
possível para a existência do limite finito é
.
Passo 5
Agora que sabemos
, substituímos no numerador para simplificar a expressão e eliminar o fator
. O numerador fica
Vamos dividir esse polinômio por
. Usamos divisão sintética (avaliando em
) com os coeficientes
:
- Baixamos
. - Multiplicamos por
: . Somamos ao próximo coeficiente: . - Multiplicamos por
: . Somamos: . - Multiplicamos por
: . Somamos: . - Multiplicamos por
: . Somamos: (resto zero, confirme que é fator).
O quociente obtido é o polinômio
Portanto
Passo 6
Fatoramos também o denominador:
Assim a expressão original com
pode ser simplificada cancelando
(para
):
Como o novo quociente é um polinômio racional contínuo em
(denominador não nulo em
), o limite quando
é obtido por substituição direta.
Passo 7
Avalie a função simplificada em
:
Portanto, para
o limite existe e vale
.