QUESTÃO 03 : Encontre a para que o limite \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+a x-1}{x^{2}+3 x-4} exista e depois o calcule.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a de modo que o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+a x-1}{x^{2}+3x-4}
exista (ou seja, seja finito), e (2) calcular esse limite para o a encontrado. As informações dadas são apenas o numerador e o denominador polinomiais acima.

Passo 2

Observação inicial sobre limites de funções racionais: se ao avaliar diretamente em x=1 o denominador for zero, para que o limite exista (finito) é necessário que o numerador também seja zero em x=1; nesse caso ambos têm um fator (x-1) e podemos simplificar. Se o numerador não for zero, o quociente costuma divergir (não ter limite finito). Então primeiro vamos checar o valor do denominador em x=1.

Passo 3

Calcule o denominador em x=1:
1^{2}+3\cdot1-4 = 1+3-4 = 0.
Portanto o denominador anula em x=1. Para o limite ser finito precisamos que o numerador também se anule em x=1. Vamos calcular o numerador em x=1 e impor que seja zero.

Passo 4

Avalie o numerador em x=1:
1^{4}+a\cdot1^{3}+2\cdot1^{2}+a\cdot1-1 = 1 + a + 2 + a -1 = 2 + 2a.
Impondo que seja zero:
2+2a=0 \quad\Rightarrow\quad 2a=-2 \quad\Rightarrow\quad a=-1.
Logo o único a possível para a existência do limite finito é a=-1.

Passo 5

Agora que sabemos a=-1, substituímos no numerador para simplificar a expressão e eliminar o fator (x-1). O numerador fica
x^{4}-x^{3}+2x^{2}-x-1.
Vamos dividir esse polinômio por (x-1). Usamos divisão sintética (avaliando em x=1) com os coeficientes 1,\,-1,\,2,\,-1,\,-1:
  • Baixamos 1.
  • Multiplicamos por 1: 1. Somamos ao próximo coeficiente: -1+1=0.
  • Multiplicamos por 1: 0. Somamos: 2+0=2.
  • Multiplicamos por 1: 2. Somamos: -1+2=1.
  • Multiplicamos por 1: 1. Somamos: -1+1=0 (resto zero, confirme que (x-1) é fator).
O quociente obtido é o polinômio
x^{3}+0x^{2}+2x+1 = x^{3}+2x+1.
Portanto
x^{4}-x^{3}+2x^{2}-x-1 = (x-1)(x^{3}+2x+1).

Passo 6

Fatoramos também o denominador:
x^{2}+3x-4 = (x-1)(x+4).
Assim a expressão original com a=-1 pode ser simplificada cancelando (x-1) (para x\neq1):
\frac{x^{4}-x^{3}+2x^{2}-x-1}{x^{2}+3x-4} = \frac{(x-1)(x^{3}+2x+1)}{(x-1)(x+4)} = \frac{x^{3}+2x+1}{x+4},\quad x\neq1.
Como o novo quociente é um polinômio racional contínuo em x=1 (denominador não nulo em x=1), o limite quando x\to1 é obtido por substituição direta.

Passo 7

Avalie a função simplificada em x=1:
\frac{1^{3}+2\cdot1+1}{1+4}=\frac{1+2+1}{5}=\frac{4}{5}.
Portanto, para a=-1 o limite existe e vale \tfrac{4}{5}.

Resposta

a=-1
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+a x-1}{x^{2}+3x-4}=\frac{4}{5}

Exercícios relacionados