Questão 02. Calcule o fluxo de
, na direção de
(vetor unitário), através da fronteira
nos seguintes casos:
e
a normal com
.
Passo 1
Identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado o campo vetorial
. - A curva
é o arco de círculo unitário no primeiro quadrante, parametrizado por , . - Pede-se o fluxo de
através da fronteira na direção do vetor unitário tal que (ou seja, escolher a normal unitária com componente positiva). - Lembrete do que vamos calcular: o fluxo através de uma curva é
, onde é a normal unitária ao traço da curva e é o elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 2
Explicar a fórmula de fluxo e como aplicá‑la em curva parametrizada.
- Se a curva é dada por
com , o comprimento elemental é . - Se
é a normal unitária ao traço no ponto , então o fluxo é
- Assim o plano de ataque: encontrar
, escolher a com e calcular a integral escalar acima.
Passo 3
Calcular
, o vetor tangente unitário
e escolher a normal unitária
com
.
- Derivando a parametrização:
. - O módulo é
. Logo o vetor tangente unitário é
- Em plano, as normais unitárias obtêm‑se rotacionando
por . Se , duas opções são e . - Calculando as duas opções aqui:
-
tem componente igual a . -
tem componente igual a .
-
- Como o enunciado exige a normal com
, escolhemos
- Observação prática: aqui
coincide com a posição porque a curva é o círculo unitário.
Passo 4
Montar a integral do fluxo usando a parametrização e
.
- Pelo passo 2,
- Como
, isso simplifica para
Passo 5
Avaliar
na parametrização e calcular o produto escalar (passo algébrico).
- Substituindo
e em :
- Produto escalar com
:
- Portanto a integral do fluxo é
Passo 6
Separar a integral em três parcelas e calcular cada uma.
Escrevemos
de modo que
.
Calcular
(mais simples):
porque
(fórmula padrão ou usando identidade
).
Passo 7
Calcular
e
usando substituição
.
- Para integrais do tipo
com ímpar, é útil pôr , pois . - Para
:
Com
, quando
temos
e quando
temos
, e
. Assim
Expandindo e integrando:
- Para
:
Com
obtemos
Expandindo:
logo
Calcular em comum denominador
:
Passo 8
Combinar as parcelas e concluir.
- Temos
, e . - Portanto o fluxo é
- Calcular
. Assim os termos racionais se cancelam:
restando