Questão 02. Calcule o fluxo de \vec{F}, na direção de \vec{n} (vetor unitário), através da fronteira \gamma nos seguintes casos:
\vec{F}=x^{3} y^{3} \vec{i}+\left(2 y-\frac{3}{4} x^{2} y^{4}\right) \vec{j}, \gamma(t)=(\cos t, \sin t), 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} e \vec{n} a normal com y>0.

Passo 1

Identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o campo vetorial \vec{F} = x^{3} y^{3}\,\vec{i} + \bigl(2y - \tfrac{3}{4}x^{2}y^{4}\bigr)\,\vec{j}.
  • A curva \gamma é o arco de círculo unitário no primeiro quadrante, parametrizado por \gamma(t)=(\cos t,\sin t), 0\le t\le \tfrac{\pi}{2}.
  • Pede-se o fluxo de \vec{F} através da fronteira \gamma na direção do vetor unitário \vec{n} tal que y>0 (ou seja, escolher a normal unitária com componente y positiva).
  • Lembrete do que vamos calcular: o fluxo através de uma curva é \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds, onde \vec{n} é a normal unitária ao traço da curva e ds é o elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 2

Explicar a fórmula de fluxo e como aplicá‑la em curva parametrizada.
  • Se a curva é dada por \gamma(t)=(x(t),y(t)) com a\le t\le b, o comprimento elemental é ds=|\gamma'(t)|\,dt.
  • Se \vec{n}(t) é a normal unitária ao traço no ponto \gamma(t), então o fluxo é
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds = \int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\cdot\vec{n}(t)\,|\gamma'(t)|\,dt.
  • Assim o plano de ataque: encontrar \gamma'(t), escolher a \vec{n}(t) com y>0 e calcular a integral escalar acima.

Passo 3

Calcular \gamma'(t), o vetor tangente unitário \vec{T}(t) e escolher a normal unitária \vec{n}(t) com y>0.
  • Derivando a parametrização: \gamma'(t)=(-\sin t,\cos t).
  • O módulo é |\gamma'(t)|=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1. Logo o vetor tangente unitário é
\vec{T}(t)=\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t).
  • Em plano, as normais unitárias obtêm‑se rotacionando \vec{T} por \pm 90^\circ. Se \vec{T}=(T_x,T_y), duas opções são ( -T_y, T_x) e (T_y,-T_x).
  • Calculando as duas opções aqui:
    • ( -T_y, T_x)=(-\cos t,-\sin t) tem componente y igual a -\sin t\le0.
    • (T_y,-T_x)=(\cos t,\sin t) tem componente y igual a \sin t\ge0.
  • Como o enunciado exige a normal com y>0, escolhemos
\vec{n}(t)=(\cos t,\sin t).
  • Observação prática: aqui \vec{n}(t) coincide com a posição \gamma(t) porque a curva é o círculo unitário.

Passo 4

Montar a integral do fluxo usando a parametrização e \vec{n}(t).
  • Pelo passo 2,
\text{Fluxo}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\vec{F}\bigl(\cos t,\sin t\bigr)\cdot\vec{n}(t)\,|\gamma'(t)|\,dt.
  • Como |\gamma'(t)|=1, isso simplifica para
\text{Fluxo}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\vec{F}\bigl(\cos t,\sin t\bigr)\cdot(\cos t,\sin t)\,dt.

Passo 5

Avaliar \vec{F} na parametrização e calcular o produto escalar (passo algébrico).
  • Substituindo x=\cos t e y=\sin t em \vec{F}:
\vec{F}\bigl(\cos t,\sin t\bigr)=\bigl(\cos^{3}t\sin^{3}t,\;2\sin t-\tfrac{3}{4}\cos^{2}t\sin^{4}t\bigr).
  • Produto escalar com \vec{n}(t)=(\cos t,\sin t):
\begin{aligned} \vec{F}\cdot\vec{n} &= \cos^{3}t\sin^{3}t\cdot\cos t + \Bigl(2\sin t-\tfrac{3}{4}\cos^{2}t\sin^{4}t\Bigr)\sin t \\\ &= \cos^{4}t\sin^{3}t + 2\sin^{2}t - \tfrac{3}{4}\cos^{2}t\sin^{5}t. \end{aligned}
  • Portanto a integral do fluxo é
\text{Fluxo}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Bigl(\cos^{4}t\sin^{3}t + 2\sin^{2}t - \tfrac{3}{4}\cos^{2}t\sin^{5}t\Bigr)\,dt.

Passo 6

Separar a integral em três parcelas e calcular cada uma.
Escrevemos
I_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}t\sin^{3}t\,dt,\qquad I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\sin^{2}t\,dt,\qquad I_3=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t\sin^{5}t\,dt,
de modo que \text{Fluxo}=I_1 + I_2 - \tfrac{3}{4}I_3.
Calcular I_2 (mais simples):
I_2 = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}t\,dt = 2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2},
porque \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}t\,dt=\tfrac{\pi}{4} (fórmula padrão ou usando identidade \sin^{2}t=\tfrac{1-\cos2t}{2}).

Passo 7

Calcular I_1 e I_3 usando substituição v=\cos t.
  • Para integrais do tipo \int \cos^{m}t\sin^{n}t\,dt com \sin t ímpar, é útil pôr v=\cos t, pois dv=-\sin t\,dt.
  • Para I_1:
\begin{aligned} I_1 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}t\sin^{3}t\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}t\sin^{2}t\sin t\,dt \\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}t(1-\cos^{2}t)\sin t\,dt. \end{aligned}
Com v=\cos t, quando t=0 temos v=1 e quando t=\tfrac{\pi}{2} temos v=0, e \sin t\,dt = -dv. Assim
I_1 = -\int_{1}^{0} v^{4}(1-v^{2})\,dv = \int_{0}^{1} v^{4}(1-v^{2})\,dv.
Expandindo e integrando:
I_1 = \int_{0}^{1}\bigl(v^{4}-v^{6}\bigr)\,dv = \Bigl[\tfrac{v^{5}}{5}-\tfrac{v^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7}=\tfrac{2}{35}.
  • Para I_3:
\begin{aligned} I_3 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t\sin^{5}t\,dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t\sin^{4}t\sin t\,dt \\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2}t(1-\cos^{2}t)^{2}\sin t\,dt. \end{aligned}
Com v=\cos t obtemos
I_3 = -\int_{1}^{0} v^{2}(1-v^{2})^{2}\,dv = \int_{0}^{1} v^{2}(1-v^{2})^{2}\,dv.
Expandindo:
v^{2}(1-2v^{2}+v^{4}) = v^{2}-2v^{4}+v^{6},
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I_3 = \int_{0}^{1}\bigl(v^{2}-2v^{4}+v^{6}\bigr)\,dv = \Bigl[\tfrac{v^{3}}{3}-\tfrac{2v^{5}}{5}+\tfrac{v^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{7}.
Calcular em comum denominador 105:
I_3 = \frac{35-42+15}{105}=\frac{8}{105}.

Passo 8

Combinar as parcelas e concluir.
  • Temos I_1=\tfrac{2}{35}, I_2=\tfrac{\pi}{2} e I_3=\tfrac{8}{105}.
  • Portanto o fluxo é
\text{Fluxo} = I_1 + I_2 - \tfrac{3}{4}I_3 = \tfrac{2}{35} + \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{8}{105}.
  • Calcular \tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{8}{105}=\tfrac{24}{420}=\tfrac{2}{35}. Assim os termos racionais se cancelam:
\tfrac{2}{35} - \tfrac{2}{35} = 0,
restando
\text{Fluxo} = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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