QUESTÃO 03 : Calcule
se
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas (resumidas):
Observação: aqui usei as notações trigonométricas em LaTeX:
para
,
para
, e
para
. Não começo a resolver ainda; só organizei o que foi pedido e quais expressões aparecem.
Passo 2
Derivada do primeiro termo
.
Teoria necessária (explicação didática):
- A derivada de
é . Isso vem da definição e é uma fórmula padrão: se então para . - Para uma razão
usamos a regra do quociente:
Aqui
e
. Vou aplicar a fórmula passo a passo.
Cálculo:
Aplicando a regra do quociente,
Agora faço uma simplificação algébrica para ficar mais manejável. Primeiro o numerador:
Então o numerador completo é
Se eu quiser escrever tudo sobre um único denominador
, teria
Mas é mais limpo deixar como a expressão original sobre
. Portanto uma forma prática é:
Se eu quiser combinar termos em um único fração no numerador:
Ambas as formas estão corretas; a segunda é totalmente simplificada em termos de frações.
Passo 3
Derivada do segundo termo
.
Teoria necessária (cadeia de derivações, explicada passo a passo):
- Regra da cadeia: se
, então . Ou seja, derivamos a função externa avaliando na interna e multiplicamos pela derivada da interna. - Aqui temos várias camadas: função externa
, dentro dela (que é ), e dentro ainda , e dentro disso . - Derivadas padrão que vamos usar:
-
Aplicando a regra da cadeia em camadas:
Seja com
e
.
Então
Seja
Então
E
E
Multiplicando tudo:
O fator
do
cancela com o
, resultando em:
Observação: se você preferir, pode escrever
.
Passo 4
Derivada do terceiro termo
.
Teoria necessária:
- Regra do produto: se
então . - Derivada da exponencial de base
(constante ): . No nosso caso . - Derivada de
é , para (mas a fórmula vale em seu domínio).
Aplicando com
e
:
Então, para o produto
,
Como no
esse termo aparece com sinal negativo, temos
Podemos também fatorar
se quisermos:
Passo 5
Juntando tudo: somo as derivadas dos três termos obtidas nos passos anteriores.
Primeiro termo (do Passo 2), em forma simplificada:
Segundo termo (do Passo 3):
Terceiro termo (do Passo 4):
Portanto a derivada completa é a soma desses três resultados:
Se quiser, pode juntar os dois últimos termos em
, mas deixei expandido para visualizar cada contribuição.
Força nos estudos! Você já tem aqui todas as regras usadas (quociente, cadeia, produto, exponencial, derivadas elementares) bem passo a passo — na prova, aplique a mesma sequência: identifique camadas e regras, derive cada camada e multiplique.]