QUESTÃO 03 : Calcule
f^{\prime}(x) se f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}+3}+\operatorname{sen}(\sqrt{\operatorname{tg}(2 x-7)}) - 5^{x} \operatorname{arcsen} x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f^{\prime}(x) da função
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}+3}+\operatorname{sen}\big(\sqrt{\operatorname{tg}(2 x-7)}\big) - 5^{x}\operatorname{arcsen} x.
Informações dadas (resumidas):
\text{1)}\quad f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}+3}+\sin\big(\sqrt{\tan(2x-7)}\big)-5^{x}\arcsin x.
\text{2)}\quad \text{Queremos } f'(x).
Observação: aqui usei as notações trigonométricas em LaTeX: \sin para \operatorname{sen}, \tan para \operatorname{tg}, e \arcsin para \operatorname{arcsen}. Não começo a resolver ainda; só organizei o que foi pedido e quais expressões aparecem.

Passo 2

Derivada do primeiro termo \displaystyle \frac{\ln x}{x^{2}+3}.
Teoria necessária (explicação didática):
  • A derivada de \ln x é \displaystyle \frac{1}{x}. Isso vem da definição e é uma fórmula padrão: se g(x)=\ln x então g'(x)=1/x para x>0.
  • Para uma razão \displaystyle \frac{u(x)}{v(x)} usamos a regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=\ln x e v(x)=x^{2}+3. Vou aplicar a fórmula passo a passo.
Cálculo:
  • u'(x)=\displaystyle \frac{1}{x}.
  • v'(x)=\displaystyle 2x.
Aplicando a regra do quociente,
\left(\frac{\ln x}{x^{2}+3}\right)'=\frac{\displaystyle \frac{1}{x}\cdot (x^{2}+3)-\ln x\cdot 2x}{(x^{2}+3)^{2}}.
Agora faço uma simplificação algébrica para ficar mais manejável. Primeiro o numerador:
\frac{1}{x}(x^{2}+3)=\frac{x^{2}+3}{x}=x+\frac{3}{x}.
Então o numerador completo é
x+\frac{3}{x}-2x\ln x.
Se eu quiser escrever tudo sobre um único denominador x, teria
\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x}.
Mas é mais limpo deixar como a expressão original sobre (x^{2}+3)^{2}. Portanto uma forma prática é:
\left(\frac{\ln x}{x^{2}+3}\right)'=\frac{\displaystyle \frac{x^{2}+3}{x}-2x\ln x}{(x^{2}+3)^{2}}.
Se eu quiser combinar termos em um único fração no numerador:
\left(\frac{\ln x}{x^{2}+3}\right)'=\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+3)^{2}}.
Ambas as formas estão corretas; a segunda é totalmente simplificada em termos de frações.

Passo 3

Derivada do segundo termo \displaystyle \sin\big(\sqrt{\tan(2x-7)}\big).
Teoria necessária (cadeia de derivações, explicada passo a passo):
  • Regra da cadeia: se h(x)=\varphi(\psi(x)), então h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x). Ou seja, derivamos a função externa avaliando na interna e multiplicamos pela derivada da interna.
  • Aqui temos várias camadas: função externa \sin(\cdot), dentro dela \sqrt{\cdot} (que é (\cdot)^{1/2}), e dentro ainda \tan(2x-7), e dentro disso 2x-7.
  • Derivadas padrão que vamos usar:
    • \displaystyle \frac{d}{du}\sin u=\cos u.
    • \displaystyle \frac{d}{du}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}=\frac12 u^{-1/2}.
    • \displaystyle \frac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^{2}u=\frac{1}{\cos^{2}u}.
    • \displaystyle \frac{d}{dx}(2x-7)=2.
Aplicando a regra da cadeia em camadas:
Seja A(x)=\sin(B(x)) com B(x)=\sqrt{C(x)} e C(x)=\tan(2x-7).
Então
A'(x)=\cos(B(x))\cdot B'(x).
E
B'(x)=\frac{1}{2\sqrt{C(x)}}\cdot C'(x).
E
C'(x)=\operatorname{sec}^{2}(2x-7)\cdot 2.
Multiplicando tudo:
\frac{d}{dx}\sin\big(\sqrt{\tan(2x-7)}\big) =\cos\big(\sqrt{\tan(2x-7)}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{\tan(2x-7)}}\cdot\big(2\operatorname{sec}^{2}(2x-7)\big).
O fator 2 do C'(x) cancela com o 1/2, resultando em:
\boxed{\displaystyle \frac{\cos\big(\sqrt{\tan(2x-7)}\big)\,\operatorname{sec}^{2}(2x-7)}{\sqrt{\tan(2x-7)}}.}
Observação: se você preferir, pode escrever \operatorname{sec}^{2}(2x-7)=\dfrac{1}{\cos^{2}(2x-7)}.

Passo 4

Derivada do terceiro termo -5^{x}\arcsin x.
Teoria necessária:
  • Regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'.
  • Derivada da exponencial de base a (constante a>0): \displaystyle \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a. No nosso caso a=5.
  • Derivada de \arcsin x é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, para |x|<1 (mas a fórmula vale em seu domínio).
Aplicando com u(x)=5^{x} e v(x)=\arcsin x:
  • u'(x)=5^{x}\ln 5.
  • v'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Então, para o produto 5^{x}\arcsin x,
\frac{d}{dx}\big(5^{x}\arcsin x\big)=5^{x}\ln 5\cdot\arcsin x + 5^{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Como no f(x) esse termo aparece com sinal negativo, temos
\frac{d}{dx}\big(-5^{x}\arcsin x\big)=-5^{x}\ln 5\cdot\arcsin x - 5^{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Podemos também fatorar -5^{x} se quisermos:
\boxed{\displaystyle -5^{x}\left(\ln 5\cdot\arcsin x + \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right).}

Passo 5

Juntando tudo: somo as derivadas dos três termos obtidas nos passos anteriores.
Primeiro termo (do Passo 2), em forma simplificada:
\left(\frac{\ln x}{x^{2}+3}\right)'=\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+3)^{2}}.
Segundo termo (do Passo 3):
\frac{\cos\big(\sqrt{\tan(2x-7)}\big)\,\operatorname{sec}^{2}(2x-7)}{\sqrt{\tan(2x-7)}}.
Terceiro termo (do Passo 4):
-5^{x}\ln 5\cdot\arcsin x - \frac{5^{x}}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto a derivada completa é a soma desses três resultados:
\boxed{\begin{aligned} f'(x)=&\;\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+3)^{2}}\\[6pt] &+\frac{\cos\big(\sqrt{\tan(2x-7)}\big)\,\operatorname{sec}^{2}(2x-7)}{\sqrt{\tan(2x-7)}}\\[6pt] &-5^{x}\ln 5\cdot\arcsin x - \frac{5^{x}}{\sqrt{1-x^{2}}}. \end{aligned}}
Se quiser, pode juntar os dois últimos termos em -5^{x}\big(\ln 5\cdot\arcsin x + 1/\sqrt{1-x^{2}}\big), mas deixei expandido para visualizar cada contribuição.
Força nos estudos! Você já tem aqui todas as regras usadas (quociente, cadeia, produto, exponencial, derivadas elementares) bem passo a passo — na prova, aplique a mesma sequência: identifique camadas e regras, derive cada camada e multiplique.]

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}+3-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+3)^{2}}+\frac{\cos\big(\sqrt{\tan(2x-7)}\big)\,\operatorname{sec}^{2}(2x-7)}{\sqrt{\tan(2x-7)}}-5^{x}\ln 5\cdot\arcsin x-\frac{5^{x}}{\sqrt{1-x^{2}}}

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