Questão 02: Considere a matriz A=[ccca^2 & 0 & 0 0 & c^2 & c d 0 & d c & d^2], onde a, c>0. Responda justificando.
  1. Apresente uma fatoração de A que revele seu posto r, na forma A=sumj=1^r Lj Lj^T onde as colunas Lj satisfazem Lj j>0 para toda coluna j=1, ldots, r.
    Por exemplo, via Cholesky, temos: A=[lla & 0 0 & c 0 & d][llla & 0 & 0 0 & c & d], que revela o posto r=2 de A. Logo A=[la 0 0][llla & 0 & 0]+[l0 c d][lll0 & c & d].
  2. Qual é o valor do posto r ?
    r=2, veja a fatoração acima.
  3. Defina bases para C(A), C(A^T) e N(A), N(A^T) à partir de a, c, d. A matriz A é simétrica, logo C(A)=C(A^T)=span[la 0 0],[l0 c d]. Da mesma forma, N(A)=N(A^T)= span[la 0 0],[l0 c d]^perp. Usando este fato, encontramos uma base para N(A) resolvendo o sistema linear homogêneo [llla & 0 & 0 0 & c & d][ly1 y2 y3]=0. Por exemplo, y=[r0 -dc 1].

Passo 1

Resumindo: temos a matriz simétrica
A= a^2 & 0 & 0 0 & c^2 & c,d 0 & d,c & d^2 ,
com a>0 e c>0.
O que se pede:
1. uma fatoração A=sumj=1^rLjLj^T revelando o posto r e tal que Ljj>0;
2. o valor de r;
3. bases de C(A), C(A^T), N(A) e N(A^T).

Passo 2

Usamos Cholesky (ou fatoração ) com
Então
onde
e de fato .

Passo 3

Como há exatamente duas colunas não nulas em B, obtemos
r=rank(A)=2

Passo 4

Para a coluna‐espaço (e como é simétrica, também ) temos

Passo 5

O espaço nulo vem de
A,x=0Long<=ftrightarrow B,B^Tx=0Long<=ftrightarrow B^Tx=0,
isto é,
a,x1=0, c,x2+d,x3=0
Daí x1=0 e x2=-dfracdcx3. Tomando x3=1 gera o vetor
y=0-,dfracdc1
que baseia tanto N(A) quanto N(A^T).

Resposta

Fatoração:
A=L1L1^T+L2L2^T, L1=(a,0,0)^T,;L2=(0,c,d)^T
Posto: r=2.
Bases:
C(A)=C(A^T)=spanl(a,0,0)^T,,(0,c,d)^Tr, N(A)=N(A^T)=span!l(0,-tfracdc,1)^Tr

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