Questão 02: Considere a matriz , onde a, c>0. Responda justificando.
Apresente uma fatoração de A que revele seu posto r, na forma A=sumj=1^r Lj Lj^T onde as colunas Lj satisfazem Lj j>0 para toda coluna j=1, ldots, r.
Por exemplo, via Cholesky, temos: A=[lla & 0 0 & c 0 & d][llla & 0 & 0 0 & c & d], que revela o posto r=2 de A. Logo A=[la 0 0][llla & 0 & 0]+[l0 c d][lll0 & c & d].
Qual é o valor do posto r ? r=2, veja a fatoração acima.
Defina bases para C(A), C(A^T) e N(A), N(A^T) à partir de a, c, d. A matriz A é simétrica, logo C(A)=C(A^T)=span[la 0 0],[l0 c d]. Da mesma forma, N(A)=N(A^T)=span[la 0 0],[l0 c d]^perp. Usando este fato, encontramos uma base para N(A) resolvendo o sistema linear homogêneo [llla & 0 & 0 0 & c & d][ly1 y2 y3]=0. Por exemplo, y=[r0 -dc 1].
Passo 1
Resumindo: temos a matriz simétrica
A= a^2 & 0 & 0 0 & c^2 & c,d 0 & d,c & d^2 ,
com a>0 e c>0.
O que se pede: 1. uma fatoração A=sumj=1^rLjLj^T revelando o posto r e tal que Ljj>0; 2. o valor de r; 3. bases de C(A), C(A^T), N(A) e N(A^T).
Passo 2
Usamos Cholesky (ou fatoração ) com
Então
onde
e de fato .
Passo 3
Como há exatamente duas colunas não nulas em B, obtemos
r=rank(A)=2
Passo 4
Para a coluna‐espaço (e como é simétrica, também ) temos