Sendo A(1,0,1), B(2,-1,1), C(-1,0,2), D(3,2,2) vértices de um tetraedro, pede-se:
as equações paramétricas da reta r, suporte da altura hD do tetraedro de base A B C relativa ao vértice D.

Passo 1

O enunciado dá os vértices A(1,0,1), B(2,-1,1), C(-1,0,2) que definem o plano da base ABC e o vértice D(3,2,2). A altura hD é a reta que passa por D e é perpendicular ao plano ABC. Para determinar suas equações paramétricas, precisamos do vetor normal ao plano ABC.

Passo 2

Calculemos dois vetores no plano ABC:
AB=B-A=(2-1,,-1-0,,1-1)=(1,-1,0)
AC=C-A=(-1-1,,0-0,,2-1)=(-2,0,1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano ABC é o produto vetorial
n=ABtimesAC
Calculando,
n = i&j&k 1&-1&0 -2&0&1 =(-1,-1,-2)
Podemos usar n=(1,1,2) (múltiplo escalar não altera direção).

Passo 4

A reta r passa por D(3,2,2) e tem direção n=(1,1,2). Logo suas equações paramétricas são:

Resposta

(x,y,z)=(3,2,2)+t,(1,1,2), tinR
Isto é,
x=3+t, y=2+t, z=2+2t

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