Questăo 02.
Dentre os conjuntos de quatro números quânticos ( \mathrm{n}, \mathrm{l}, \mathrm{ml}, \mathrm{ms} ) descritos abaixo, identifique qual não é permitido para um elétron e explique o porquê. (0,5)
1\{4,1,+1,+1 / 2\} \quad \text { II }\{2,1,+1,-1 / 2\} \quad \text { III }\{3,2,+3,+1 / 2\}

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos de números quânticos e pede para identificar qual deles NÃO é permitido para um elétron e explicar o porquê. Os conjuntos fornecidos são:
  • I: \{4,1,+1,+\tfrac{1}{2}\}
  • II: \{2,1,+1,-\tfrac{1}{2}\}
  • III: \{3,2,+3,+\tfrac{1}{2}\}
O que precisa ser verificado para cada conjunto: se os valores de \,n, \,l, \,m_l e \,m_s respeitam as regras dos números quânticos para um elétron.

Passo 2

Relembrando, com explicação didática e sem pular etapas, as regras permitidas para cada número quântico (essas são as regras que usamos para checar os conjuntos):
  • O número quântico principal \,n indica o nível de energia e deve ser um inteiro positivo:
n\in\{1,2,3,\dots\}.
Isto é, n não pode ser zero nem negativo; começa em 1.
  • O número quântico azimutal (ou orbital) \,l está ligado ao momento angular orbital e depende de n. Seus valores possíveis são inteiros desde 0 até n-1:
l\in\{0,1,2,\dots,n-1\}.
Exemplo: se n=3, então l pode ser 0,1 ou 2.
  • O número magnético \,m_l descreve a orientação do orbital no espaço e, para um dado l, pode assumir quaisquer valores inteiros entre -l e +l:
m_l\in\{-l,-l+1,\dots,0,\dots,+l-1,+l\}.
Isto implica a desigualdade útil
|m_l|\le l.
Exemplo: se l=2, então m_l só pode ser -2,-1,0,1,2.
  • O número de spin \,m_s do elétron só pode ter dois valores permitidos:
m_s\in\left\{+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\}.
Isto representa as duas orientações possíveis do spin do elétron.
Agora que temos as regras claras, vamos checar cada conjunto passo a passo.

Passo 3

Verificação do conjunto I: \{4,1,+1,+\tfrac{1}{2}\}.
  • n=4: é um inteiro positivo, portanto válido.
  • l=1: deve satisfazer 0\le l\le n-1. Como n-1=3, l=1 está dentro do intervalo, portanto válido.
  • m_l=+1: deve satisfazer -l\le m_l\le +l. Aqui l=1 então possíveis m_l são -1,0,+1. Como +1 está entre esses valores, é válido.
  • m_s=+\tfrac{1}{2}: é um dos dois valores permitidos para spin, portanto válido.
    Conclusão deste passo: o conjunto I é permitido.

Passo 4

Verificação do conjunto II: \{2,1,+1,-\tfrac{1}{2}\}.
  • n=2: inteiro positivo, válido.
  • l=1: como n-1=1, l=1 está dentro de 0\le l\le1, válido.
  • m_l=+1: para l=1 os m_l possíveis são -1,0,+1; +1 é permitido.
  • m_s=-\tfrac{1}{2}: é um valor de spin permitido.
    Conclusão deste passo: o conjunto II é permitido.

Passo 5

Verificação do conjunto III: \{3,2,+3,+\tfrac{1}{2}\}.
  • n=3: inteiro positivo, válido.
  • l=2: como n-1=2, l=2 está no limite superior permitido ( 0\le l\le2), então l é válido.
  • m_l=+3: para l=2 os valores possíveis de m_l são -2,-1,0,+1,+2. Repare que |m_l| deve ser menor ou igual a l. Aqui |+3|=3 e isso viola |m_l|\le l porque 3>2. Portanto m_l=+3 NÃO é permitido quando l=2.
  • m_s=+\tfrac{1}{2}: embora este valor de spin seja válido, o problema já está na escolha de m_l.
    Conclusão deste passo: o conjunto III é proibido porque o valor de m_l está fora do intervalo permitido para o respectivo l.

Passo 6

Resumo e explicação intuitiva final (curta e motivadora): a única violação entre os três conjuntos é no conjunto III, onde se tenta atribuir ao elétron uma orientação magnética m_l=+3 num orbital com l=2. Isso é como dizer que a orientação espacial tem mais “passos” do que o próprio momento angular permite — simplesmente não existe esse valor de m_l para l=2. Relaxe: é um erro típico de prova, e checar a desigualdade |m_l|\le l é a forma mais rápida de descobrir esse tipo de falha.

Resposta

III \{3,2,+3,+\tfrac{1}{2}\} — não é permitido porque m_l=+3 viola a condição |m_l|\le l para l=2.

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