Determine as derivadas parciais indicadas:
(b) f(x, y, z)=\cos (4 x+3 y+2 z) ; \quad frye. f_{y x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\cos(4x+3y+2z)
e pede para determinar as derivadas parciais indicadas: especificamente f_{y} e f_{y x}. Aqui vamos entender f_{y} como a derivada parcial de f em relação a y (mantendo x e z constantes) e f_{y x} como a derivada parcial de ordem dois obtida ao derivar f_{y} em relação a x (ou seja, primeiro em y e depois em x).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): quando uma função é composta, tipo f(x,y,z)=h(u(x,y,z)), a derivada parcial em relação a uma variável usa a regra da cadeia. Escrevendo isso,
\frac{\partial f}{\partial y} = h'(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
No nosso caso temos uma composição com h(t)=\cos t e u(x,y,z)=4x+3y+2z. A derivada de h é h'(t)=-\sin t. Além disso, u é linear em x,y,z, então é fácil achar suas derivadas parciais: por exemplo \frac{\partial u}{\partial y}=3 e \frac{\partial u}{\partial x}=4. Lembre-se: ao calcular \partial/\partial y mantemos x e z fixos; ao calcular \partial/\partial x mantemos y e z fixos.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para obter f_{y}. Definimos claramente
u(x,y,z)=4x+3y+2z,
logo f(x,y,z)=\cos(u(x,y,z)). Usando h'(u)=-\sin(u) e \frac{\partial u}{\partial y}=3, temos
f_{y} = -\sin(u)\cdot 3 = -3\sin(4x+3y+2z).
Então a primeira resposta parcial é \;f_{y}=-3\sin(4x+3y+2z).

Passo 4

Agora vamos calcular f_{y x}. Pela definição de derivada mista, f_{y x} é a derivada parcial de f_{y} em relação a x:
f_{y x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_{y}\big).
Ou seja, pegamos f_{y}(x,y,z)=-3\sin(4x+3y+2z) e diferenciamos em x, tratando y e z como constantes.

Passo 5

Aplicando de novo a regra da cadeia em f_{y}. A função que aparece é -3\sin(u) com u=4x+3y+2z. Derivando em x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-3\sin(u)\big) = -3\cos(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Como \frac{\partial u}{\partial x}=4, obtemos
f_{y x} = -3\cos(u)\cdot 4 = -12\cos(4x+3y+2z).

Passo 6

Checagem rápida de consistência (útil na prova): poderíamos primeiro calcular f_{x} e depois f_{x y}; pelo Teorema de Clairaut (função é suave aqui), os mistas são iguais. Para conferir: f_{x}=-4\sin(4x+3y+2z) e então f_{x y}=\frac{\partial}{\partial y}(-4\sin(u))=-4\cos(u)\cdot 3=-12\cos(u), que coincide com f_{y x}. Tudo certo!

Resposta

f_{y}=-3\sin(4x+3y+2z)
f_{y x}=-12\cos(4x+3y+2z)

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