Determine as derivadas parciais indicadas:
(b)
frye.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais indicadas: especificamente
e
. Aqui vamos entender
como a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
e
constantes) e
como a derivada parcial de ordem dois obtida ao derivar
em relação a
(ou seja, primeiro em
e depois em
).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): quando uma função é composta, tipo
, a derivada parcial em relação a uma variável usa a regra da cadeia. Escrevendo isso,
No nosso caso temos uma composição com
e
. A derivada de
é
. Além disso,
é linear em
, então é fácil achar suas derivadas parciais: por exemplo
e
. Lembre-se: ao calcular
mantemos
e
fixos; ao calcular
mantemos
e
fixos.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para obter
. Definimos claramente
logo
. Usando
e
, temos
Então a primeira resposta parcial é
.
Passo 4
Agora vamos calcular
. Pela definição de derivada mista,
é a derivada parcial de
em relação a
:
Ou seja, pegamos
e diferenciamos em
, tratando
e
como constantes.
Passo 5
Aplicando de novo a regra da cadeia em
. A função que aparece é
com
. Derivando em
:
Como
, obtemos
Passo 6
Checagem rápida de consistência (útil na prova): poderíamos primeiro calcular
e depois
; pelo Teorema de Clairaut (função é suave aqui), os mistas são iguais. Para conferir:
e então
, que coincide com
. Tudo certo!