Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá-la em relação a
.
Informações relevantes: a função é uma composição (há uma raiz quadrada, dentro dela uma função secante, e dentro desta uma função polinomial ). O objetivo é calcular
.
Informações relevantes: a função é uma composição (há uma raiz quadrada, dentro dela uma função secante, e dentro desta uma função polinomial
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a raiz como potência para facilitar o uso de regras de derivação. Temos
Explicação: a notação
é equivalente a
. Isso nos permite aplicar a regra da potência (derivada de
) combinada com a regra da cadeia.
Passo 3
Apresentando a regra da cadeia de forma didática. Se tivermos uma composição de funções
, a regra da cadeia diz:
Significado:
é a função externa,
é a função interna; para derivar a composição, derivamos a externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da interna. Se houver mais de uma camada (por exemplo
), aplicamos a regra repetidas vezes, multiplicando as derivadas de cada camada.
Passo 4
Identificando as camadas na nossa função e calculando as derivadas de cada uma:
- Função externa
. Pela regra da potência,
Aqui
representa
quando aplicarmos ao nosso problema.
- Função do meio
. Fórmula conhecida (derivada da secante):
Explicação breve: a secante é
; derivando usando quociente ou derivada da função trigonométrica chega-se nessa fórmula padrão.
- Função interna
. Aplicando a regra da potência simples,
porque
e o fator constante
multiplica.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia em três camadas. Usando a notação das derivadas encontradas:
Substituindo
,
e
e as expressões correspondentes:
Aqui cada fator vem de uma camada: o primeiro é a derivada da raiz avaliada na secante, o segundo é a derivada da secante avaliada em
, e o terceiro é a derivada de
.
Passo 6
Agora simplificamos a expressão passo a passo. Primeiro combine constantes:
Então temos
Observe a parte com
: dividir
por
é o mesmo que
. Assim:
Substituindo isso obtemos a forma simplificada e muito agradável: