Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
y=\sqrt{\operatorname{sec} \left(4 x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\sqrt{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)}
e pede para derivá-la em relação a x.
Informações relevantes: a função é uma composição (há uma raiz quadrada, dentro dela uma função secante, e dentro desta uma função polinomial 4x^{2}). O objetivo é calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a raiz como potência para facilitar o uso de regras de derivação. Temos
y=\left(\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)\right)^{1/2}.
Explicação: a notação \sqrt{u} é equivalente a u^{1/2}. Isso nos permite aplicar a regra da potência (derivada de u^{n}) combinada com a regra da cadeia.

Passo 3

Apresentando a regra da cadeia de forma didática. Se tivermos uma composição de funções \displaystyle y = f(g(x)), a regra da cadeia diz:
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Significado: f é a função externa, g é a função interna; para derivar a composição, derivamos a externa avaliando-a na interna e multiplicamos pela derivada da interna. Se houver mais de uma camada (por exemplo f(g(h(x)))), aplicamos a regra repetidas vezes, multiplicando as derivadas de cada camada.

Passo 4

Identificando as camadas na nossa função e calculando as derivadas de cada uma:
  • Função externa F(u)=u^{1/2}. Pela regra da potência,
F'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Aqui u representa \operatorname{sec}(4x^{2}) quando aplicarmos ao nosso problema.
  • Função do meio G(v)=\operatorname{sec}(v). Fórmula conhecida (derivada da secante):
G'(v)=\operatorname{sec}(v)\tan(v).
Explicação breve: a secante é \operatorname{sec} v = 1/\cos v; derivando usando quociente ou derivada da função trigonométrica chega-se nessa fórmula padrão.
  • Função interna H(x)=4x^{2}. Aplicando a regra da potência simples,
H'(x)=8x,
porque \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x e o fator constante 4 multiplica.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia em três camadas. Usando a notação das derivadas encontradas:
\frac{dy}{dx}=F'\bigl(G(H(x))\bigr)\cdot G'\bigl(H(x)\bigr)\cdot H'(x).
Substituindo F', G' e H' e as expressões correspondentes:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)}}\cdot\bigl(\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)\tan\left(4x^{2}\right)\bigr)\cdot(8x).
Aqui cada fator vem de uma camada: o primeiro é a derivada da raiz avaliada na secante, o segundo é a derivada da secante avaliada em 4x^{2}, e o terceiro é a derivada de 4x^{2}.

Passo 6

Agora simplificamos a expressão passo a passo. Primeiro combine constantes:
\frac{1}{2}\cdot 8x = 4x.
Então temos
\frac{dy}{dx}=4x\cdot\frac{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)\tan\left(4x^{2}\right)}{\sqrt{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)}}.
Observe a parte com \operatorname{sec}: dividir \operatorname{sec} por \sqrt{\operatorname{sec}} é o mesmo que \operatorname{sec}^{1}\cdot\operatorname{sec}^{-1/2}=\operatorname{sec}^{1/2}=\sqrt{\operatorname{sec}}. Assim:
\frac{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)}{\sqrt{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)}}=\sqrt{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)}.
Substituindo isso obtemos a forma simplificada e muito agradável:
\frac{dy}{dx}=4x\sqrt{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)}\tan\left(4x^{2}\right).

Resposta

\displaystyle 4x\sqrt{\operatorname{sec}\left(4x^{2}\right)}\tan\left(4x^{2}\right)

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