Questão-08. Determine a inversa de cada função, se existir.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a inversa da função
, se existir.
Informações dadas: a função é . Não foi explicitado o contradomínio, então vou assumir o domínio natural
(todos os números reais) e o contradomínio usual
ou, quando for conveniente, o conjunto imagem
.
O que precisamos responder: a) existe uma função inversa de quando considerada em todo o domínio
? b) se não existir globalmente, existe alguma restrição natural do domínio que torne
invertível e qual é essa inversa?
Informações dadas: a função é
O que precisamos responder: a) existe uma função inversa de
Passo 2
Conceitos importantes (muito mastigado): o que é função inversa?
Uma função é inversa de
se, para todo
do domínio de
e todo
do domínio de
, valem
Uma função
e
Para que exista uma inversa,
precisa ser bijetora — isto é, precisa ser injetora (uma-para-um) e sobrejetora (atingir todo o contradomínio escolhido).
Definições curtas:
Definições curtas:
- Injetora: se
então necessariamente . - Sobrejetora (no contexto útil aqui): a imagem de
é todo o conjunto onde queremos a inversa (por exemplo, se considerarmos a imagem natural de ).
Passo 3
Testando injetividade de
em todo
. Vou dar contraexemplos simples para mostrar que
não é injetora:
e
mas
. Logo existem
com
, então
não é injetora em
. Outra observação equivalente e geral: para todo
temos
então muitos pontos distintos têm a mesma imagem. Conclusão: considerada com domínio
,
não tem inversa (não é uma-para-um).
Passo 4
Então, não existe inversa global. Mas podemos tornar
invertível restringindo o domínio a um intervalo onde ela seja estritamente monotônica (uma-para-um) e cujo conjunto imagem seja
(para cobrir todos os possíveis valores de seno). A escolha padrão, a mais usada, é restringir o domínio a
Por que essa escolha funciona? Vou justificar passo a passo.
Passo 5
Mostrando que
é estritamente crescente em
: a derivada é
. Para todo
em
temos
. Quando a derivada é positiva em um intervalo aberto, a função é estritamente crescente nesse intervalo. Portanto
é estritamente crescente em
. Incluindo os extremos
e
mantemos a injetividade no intervalo fechado
.
Passo 6
Mostrando que a imagem de
no intervalo
é exatamente
: calculamos os extremos
e
Além disso,
é contínua nesse intervalo. Pelo Teorema do Valor Intermediário, todos os valores entre
e
são atingidos. Como a função é estritamente crescente e atinge
e
nas bordas, concluímos que
Portanto, na restrição ao intervalo
a função é bijetora entre
e
.
Passo 7
Definição da inversa no caso restrito: a inversa da restrição
é a função chamada
(ou
em notação científica). Ela é definida assim: para cada
,
Em palavras:
é o ângulo
no intervalo principal
cujo seno é
.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar (úteis na prova):
porque
. Esses exemplos mostram como usar a definição: buscar o ângulo no intervalo principal cuja imagem pelo seno é o número dado.
Passo 9
Resumo do raciocínio e por que escolhemos esse intervalo: escolhemos
porque é o intervalo mais comum (o “ramo principal”) onde
é contínua, estritamente crescente e atinge toda a imagem
. Poderíamos escolher outros intervalos onde
é injetora (por exemplo
dá outra bijeção para
), mas o padrão e o mais útil é o ramo principal, e por isso apresentamos
.
Resposta
A função
considerada em
não tem inversa (não é injetora).
Restrita ao intervalo , a inversa existe e é
, definida por
tal que
.
Restrita ao intervalo