Questão-08. Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a inversa da função f(x)=\operatorname{sen}(x), se existir.
Informações dadas: a função é f\colon x \mapsto \operatorname{sen}(x). Não foi explicitado o contradomínio, então vou assumir o domínio natural \mathbb{R} (todos os números reais) e o contradomínio usual \mathbb{R} ou, quando for conveniente, o conjunto imagem [-1,1].
O que precisamos responder: a) existe uma função inversa de \operatorname{sen} quando considerada em todo o domínio \mathbb{R}? b) se não existir globalmente, existe alguma restrição natural do domínio que torne \operatorname{sen} invertível e qual é essa inversa?

Passo 2

Conceitos importantes (muito mastigado): o que é função inversa?
Uma função g é inversa de f se, para todo x do domínio de f e todo y do domínio de g, valem
g(f(x))=x
e
f(g(y))=y.
Para que exista uma inversa, f precisa ser bijetora — isto é, precisa ser injetora (uma-para-um) e sobrejetora (atingir todo o contradomínio escolhido).
Definições curtas:
  • Injetora: se f(a)=f(b) então necessariamente a=b.
  • Sobrejetora (no contexto útil aqui): a imagem de f é todo o conjunto onde queremos a inversa (por exemplo, [-1,1] se considerarmos a imagem natural de \operatorname{sen}).

Passo 3

Testando injetividade de \operatorname{sen} em todo \mathbb{R}. Vou dar contraexemplos simples para mostrar que \operatorname{sen} não é injetora:
\operatorname{sen}(0)=0
e
\operatorname{sen}(\pi)=0,
mas 0\neq\pi. Logo existem a\neq b com \operatorname{sen}(a)=\operatorname{sen}(b), então \operatorname{sen} não é injetora em \mathbb{R}. Outra observação equivalente e geral: para todo x temos
\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(x+2\pi),
então muitos pontos distintos têm a mesma imagem. Conclusão: considerada com domínio \mathbb{R}, \operatorname{sen} não tem inversa (não é uma-para-um).

Passo 4

Então, não existe inversa global. Mas podemos tornar \operatorname{sen} invertível restringindo o domínio a um intervalo onde ela seja estritamente monotônica (uma-para-um) e cujo conjunto imagem seja [-1,1] (para cobrir todos os possíveis valores de seno). A escolha padrão, a mais usada, é restringir o domínio a
\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Por que essa escolha funciona? Vou justificar passo a passo.

Passo 5

Mostrando que \operatorname{sen} é estritamente crescente em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right): a derivada é \cos x. Para todo x em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) temos \cos x>0. Quando a derivada é positiva em um intervalo aberto, a função é estritamente crescente nesse intervalo. Portanto \operatorname{sen} é estritamente crescente em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Incluindo os extremos -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} mantemos a injetividade no intervalo fechado \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].

Passo 6

Mostrando que a imagem de \operatorname{sen} no intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] é exatamente [-1,1]: calculamos os extremos
\operatorname{sen}\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1
e
\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
Além disso, \operatorname{sen} é contínua nesse intervalo. Pelo Teorema do Valor Intermediário, todos os valores entre -1 e 1 são atingidos. Como a função é estritamente crescente e atinge -1 e 1 nas bordas, concluímos que
\operatorname{sen}\!\left(\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\right)=[-1,1].
Portanto, na restrição ao intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] a função é bijetora entre \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] e [-1,1].

Passo 7

Definição da inversa no caso restrito: a inversa da restrição
\operatorname{sen}\colon\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]
é a função chamada \operatorname{arcsen} (ou \arcsin em notação científica). Ela é definida assim: para cada y\in[-1,1],
\operatorname{arcsen}(y)=x \quad\text{se, e somente se,}\quad x\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\text{ e }\operatorname{sen}(x)=y.
Em palavras: \operatorname{arcsen}(y) é o ângulo x no intervalo principal \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] cujo seno é y.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar (úteis na prova):
\operatorname{arcsen}(0)=0,
\operatorname{arcsen}(1)=\tfrac{\pi}{2},
\operatorname{arcsen}(-1)=-\tfrac{\pi}{2},
\operatorname{arcsen}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{6},
porque \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}. Esses exemplos mostram como usar a definição: buscar o ângulo no intervalo principal cuja imagem pelo seno é o número dado.

Passo 9

Resumo do raciocínio e por que escolhemos esse intervalo: escolhemos \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] porque é o intervalo mais comum (o “ramo principal”) onde \operatorname{sen} é contínua, estritamente crescente e atinge toda a imagem [-1,1]. Poderíamos escolher outros intervalos onde \operatorname{sen} é injetora (por exemplo [\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}] dá outra bijeção para [-1,1]), mas o padrão e o mais útil é o ramo principal, e por isso apresentamos \operatorname{arcsen}.

Resposta

A função \operatorname{sen} considerada em \mathbb{R} não tem inversa (não é injetora).
Restrita ao intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], a inversa existe e é \operatorname{arcsen}\colon[-1,1]\to\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], definida por \operatorname{arcsen}(y)=x tal que \operatorname{sen}(x)=y.

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