Questão 02. Determinar os valores de m para que a distância entre os pontos A(-1,2,4) e B(1,-1, m) seja igual a 7.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de m tais que a distância entre os pontos \,A(-1,2,4)\, e \,B(1,-1,m)\, seja igual a 7.
Informações dadas:
  • Coordenadas do ponto A: \,x_A=-1,\;y_A=2,\;z_A=4.
  • Coordenadas do ponto B: \,x_B=1,\;y_B=-1,\;z_B=m.
  • Distância desejada entre A e B: \,d(A,B)=7.

Passo 2

Fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional: para pontos \,P(x_1,y_1,z_1)\, e \,Q(x_2,y_2,z_2)\,, a distância é dada por
d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicando a fórmula: cada termo (x_2-x_1), (y_2-y_1), (z_2-z_1) é a diferença nas coordenadas correspondentes; ao elevar ao quadrado e somar, obtemos o quadrado da distância (teorema de Pitágoras generalizado), e a raiz quadrada fornece a distância positiva.

Passo 3

Calcular as diferenças de coordenadas entre B e A:
x_B-x_A = 1 - (-1) = 2,
y_B-y_A = -1 - 2 = -3,
z_B-z_A = m - 4.

Passo 4

Substituir essas diferenças na fórmula da distância e impor que o resultado seja 7:
\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+(m-4)^{2}}=7.
Para resolver, primeiro elevamos ambos os lados ao quadrado (isso elimina a raiz; atenção: ao quadrar pode surgir sinal ± na etapa seguinte, por isso verificaremos as soluções):
2^{2}+(-3)^{2}+(m-4)^{2}=7^{2}.

Passo 5

Calcular os quadrados numéricos e isolar (m-4)^{2}:
4+9+(m-4)^{2}=49.
13+(m-4)^{2}=49.
(m-4)^{2}=49-13=36.

Passo 6

Resolver a equação quadrática em forma fatorada pela raiz quadrada: se (m-4)^{2}=36, então
m-4 = \pm 6.
Portanto as duas soluções são
m=4+6=10 \qquad\text{e}\qquad m=4-6=-2.

Passo 7

Checagem rápida (importante para evitar raiz extraviada): para m=10 temos \,z_B-z_A=6 e a distância é \sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7. Para m=-2 temos \,z_B-z_A=-6 e a distância é \sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7. Ambas satisfazem a condição.

Resposta

m=10
m=-2

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