Questão 02. Determinar os valores de
para que a distância entre os pontos
e
seja igual a 7.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
tais que a distância entre os pontos
e
seja igual a
.
Informações dadas:
- Coordenadas do ponto
: . - Coordenadas do ponto
: . - Distância desejada entre
e : .
Passo 2
Fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional: para pontos
e
, a distância é dada por
Explicando a fórmula: cada termo
,
,
é a diferença nas coordenadas correspondentes; ao elevar ao quadrado e somar, obtemos o quadrado da distância (teorema de Pitágoras generalizado), e a raiz quadrada fornece a distância positiva.
Passo 3
Calcular as diferenças de coordenadas entre
e
:
Passo 4
Substituir essas diferenças na fórmula da distância e impor que o resultado seja
:
Para resolver, primeiro elevamos ambos os lados ao quadrado (isso elimina a raiz; atenção: ao quadrar pode surgir sinal ± na etapa seguinte, por isso verificaremos as soluções):
Passo 5
Calcular os quadrados numéricos e isolar
:
Passo 6
Resolver a equação quadrática em forma fatorada pela raiz quadrada: se
, então
Portanto as duas soluções são
Passo 7
Checagem rápida (importante para evitar raiz extraviada): para
temos
e a distância é
. Para
temos
e a distância é
. Ambas satisfazem a condição.