Questão 01. Sejam os vetores vec{u}=(8,0,6), \vec{v}=(-3,4,12). Determine:
\vec{v} \cdot \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(8,0,6) e \vec{v}=(-3,4,12) e pede para determinar \vec{v}\cdot\vec{v}.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{v}=(-3,4,12).
    A pergunta é única: calcular o produto escalar de \vec{v} por ele mesmo.

Passo 2

Vamos relembrar a definição do produto escalar (dot product) para vetores em \mathbb{R}^3.
Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a componente correspondente dos vetores; multiplicam-se componente a componente e soma-se tudo. Isso é uma fórmula direta que dá um número real.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \vec{v}\cdot\vec{v}: como ambos os vetores são iguais, o produto escalar vira a soma dos quadrados das componentes:
\vec{v}\cdot\vec{v}=(-3)^2 + 4^2 + 12^2.
Agora calculemos cada quadrado separadamente:
(-3)^2 = 9,\qquad 4^2 = 16,\qquad 12^2 = 144.

Passo 4

Somando os resultados:
\vec{v}\cdot\vec{v}=9+16+144=169.
Uma observação útil para a prova: \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2, ou seja, é o quadrado da norma do vetor. Assim \|\vec{v}\|=\sqrt{169}=13, informação extra que às vezes é pedida.

Resposta

\vec{v}\cdot\vec{v}=169

Exercícios relacionados