Questão 03. Sejam
e
vetores. Se necessário use
e
para mostrar que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações dadas:
- Existem dois vetores
e . - A prova pode ser feita usando componentes:
e se necessário. - Há uma figura mostrando os vetores
e e o ângulo entre eles (essa informação aparece na imagem).
Passo 2
Definições e fórmulas fundamentais que vamos usar (mini-aula):
- Produto escalar (para vetores em
): se e , então
Isto significa: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados.
- Norma ao quadrado (módulo ao quadrado) de um vetor: para qualquer vetor
,
- Propriedades algébricas importantes do produto escalar:
- Distributividade em relação à soma:
- Comutatividade (simetria):
Essas propriedades decorrem diretamente da definição componente a componente (se quiser, posso mostrar um mini-cálculo para provar cada propriedade).
Passo 3
Aplicar a distributividade ao produto escalar pedido. Usando a propriedade distributiva:
Agora aplicamos distributividade em cada termo:
Substituindo essas expressões na igualdade inicial obtemos:
Passo 4
Simplificar usando comutatividade do produto escalar, que diz
. Assim os termos de mistura se cancelam:
Usando a definição de norma ao quadrado (
), obtemos exatamente:
Passo 5
Verificação componente a componente (para quem prefere ver as contas “no concreto”). Tome
e
. Então:
O produto escalar é
Cada termo é uma diferença de quadrados:
Somando,
confirmando a identidade.
Passo 6
Interpretação geométrica rápida (intuição): usando a fórmula geométrica
(onde
é o ângulo entre
e
), ao expandir
os dois últimos termos se anulam e sobra novamente
. Isso dá uma boa intuição do porquê dos termos mistos desaparecerem.