Questão 03. Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores. Se necessário use \vec{u}=\left(x_{1}, y_{1}\right) e \vec{v}=\left(x_{2}, y_{2}\right) para mostrar que:
(\vec{u}-\vec{v}) \cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2}.
Informações dadas:
  • Existem dois vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • A prova pode ser feita usando componentes: \vec{u}=(x_{1},y_{1}) e \vec{v}=(x_{2},y_{2}) se necessário.
  • Há uma figura mostrando os vetores \vec{u} e \vec{v} e o ângulo \theta entre eles (essa informação aparece na imagem).

Passo 2

Definições e fórmulas fundamentais que vamos usar (mini-aula):
  • Produto escalar (para vetores em \mathbb{R}^{2}): se \vec{a}=(a_{1},a_{2}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2}), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}.
Isto significa: multiplica-se componente a componente e soma-se os resultados.
  • Norma ao quadrado (módulo ao quadrado) de um vetor: para qualquer vetor \vec{a},
|\vec{a}|^{2}=\vec{a}\cdot\vec{a}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}.
  • Propriedades algébricas importantes do produto escalar:
    1. Distributividade em relação à soma:
    \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
    1. Comutatividade (simetria):
    \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
Essas propriedades decorrem diretamente da definição componente a componente (se quiser, posso mostrar um mini-cálculo para provar cada propriedade).

Passo 3

Aplicar a distributividade ao produto escalar pedido. Usando a propriedade distributiva:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})-\vec{v}\cdot(\vec{u}+\vec{v}).
Agora aplicamos distributividade em cada termo:
\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v},
\vec{v}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}.
Substituindo essas expressões na igualdade inicial obtemos:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =(\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v})-(\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}).

Passo 4

Simplificar usando comutatividade do produto escalar, que diz \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}. Assim os termos de mistura se cancelam:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} =\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v}.
Usando a definição de norma ao quadrado ( |\vec{a}|^{2}=\vec{a}\cdot\vec{a}), obtemos exatamente:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2}.

Passo 5

Verificação componente a componente (para quem prefere ver as contas “no concreto”). Tome \vec{u}=(x_{1},y_{1}) e \vec{v}=(x_{2},y_{2}). Então:
\vec{u}-\vec{v}=(x_{1}-x_{2},\,y_{1}-y_{2}), \qquad \vec{u}+\vec{v}=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}).
O produto escalar é
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})+(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2}).
Cada termo é uma diferença de quadrados:
(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}, \qquad (y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}.
Somando,
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}) =|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2},
confirmando a identidade.

Passo 6

Interpretação geométrica rápida (intuição): usando a fórmula geométrica \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta (onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}), ao expandir
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2}+|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta-|\vec{v}||\vec{u}|\cos\theta,
os dois últimos termos se anulam e sobra novamente |\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2}. Isso dá uma boa intuição do porquê dos termos mistos desaparecerem.

Resposta

(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^{2}-|\vec{v}|^{2}

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