Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a série de potências
quando esse limite existe (equivalente a R=1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} quando apropriado). Vou aplicar o teste da razão aos coeficientes a_n.
Explico o porquê: a série converge absolutamente quando \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n x^n|}<1, o que leva às formas acima. O teste da razão é especialmente simples quando os coeficientes envolvem fatoriais.
Passo 3
Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Com a_n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^{2}} temos
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=4, obtemos
R=\frac{1}{4}.
Portanto o raio de convergência é R=\dfrac{1}{4}. Isso significa que a série converge absolutamente para |x|<\dfrac{1}{4} e diverge para |x|>\dfrac{1}{4}. Restam os extremos x=\pm\dfrac{1}{4} a examinar.
Passo 6
Para simplificar a análise dos extremos, note que o coeficiente a_n é o coeficiente binomial central:
a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}=\binom{2n}{n}.
Então a série é \sum_{n=1}^\infty \binom{2n}{n} x^n. Nos extremos temos:
Para x=\dfrac{1}{4}: os termos são b_n=\binom{2n}{n}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n.
Para x=-\dfrac{1}{4}: os termos são b_n=(-1)^n\binom{2n}{n}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n.
Vamos estudar o comportamento assintótico de \binom{2n}{n} para decidir convergência.
Passo 7
Apresento uma ferramenta muito útil: a fórmula de Stirling (uma aproximação assintótica para fatoriais). Dizemos que, quando n\to\infty,
n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n},
o que significa que o quociente entre os dois lados tende a 1. Vou usar Stirling para obter a assíntota de \binom{2n}{n}.
Portanto b_n tem ordem assintótica 1/\sqrt{n}. Como a série \sum 1/\sqrt{n} diverge (é uma série p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1), pela comparação assintótica a série original em x=\dfrac{1}{4} também diverge. Conclusão: a série diverge em x=\dfrac{1}{4}.
Se quiser uma justificativa sem dizer “aproximação”: a aplicação rigorosa de Stirling permite afirmar que existe constante C>0 tal que para n grande
b_n\ge \frac{C}{\sqrt{n}},
e isso já basta para concluir divergência por comparação com \sum 1/\sqrt{n}.
Passo 9
Agora analyze x=-\dfrac{1}{4}. Temos a série alternada
Denotando u_n=\binom{2n}{n}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n (a parte positiva), já vimos que u_n\sim 1/\sqrt{\pi n} e portanto u_n\to 0 quando n\to\infty. Para aplicar o teste da série alternada (critérios de Leibniz) precisamos também que u_n seja monotonicamente decrescente para n grande (ou ao menos eventualmente decrescente).
Passo 10
Mostro que u_n é eventualmente decrescente. Usei antes a razão entre termos:
Para todo n\ge1 esse quociente é menor que 1 (por exemplo para n\ge1 temos 1-\dfrac{1}{2(n+1)}<1), logo u_{n+1}<u_n para todo n. Assim u_n é decrescente e tende a 0.
Passo 11
Pelo teste de Leibniz (serie alternada com termos decrescentes em módulo que tendem a zero), a série em x=-\dfrac{1}{4} converge. Como a série absoluta em x=-\dfrac{1}{4} é a mesma que no caso x=+\dfrac{1}{4} (pois |(-1)^n|=1), e essa série absoluta diverge, concluímos que a convergência em x=-\dfrac{1}{4} é condicional (não é absoluta).
Resposta
Raio de convergência: \;R=\dfrac{1}{4}.
Intervalo de convergência: \;[-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}).