Questão-02. Encontre uma base para cada subespaço vetorial S_{6}=\{(x, x+y, 2 x) ; x, y \in R\}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base para o subespaço vetorial S_{6} definido por
S_{6}=\{(x,\,x+y,\,2x) \;:\; x,y\in\mathbb{R}\}.
Informações dadas:
Os vetores em S_{6} são todos os tripletos (x,\,x+y,\,2x) com x e y variando em \mathbb{R}.
A pergunta é única: apresentar uma base (um conjunto de vetores linearmente independentes que gera S_{6}).
Passo 2
Vamos escrever um vetor genérico de S_{6} em função de x e y para ver se ele aparece como combinação linear de alguns vetores fixos. Começamos reescrevendo:
(x,\,x+y,\,2x)=x\,(1,\,1,\,2)+y\,(0,\,1,\,0).
Isto mostra explicitamente que todo vetor de S_{6} é uma combinação linear dos dois vetores (1,1,2) e (0,1,0). Aqui:
o coeficiente do primeiro vetor é x,
o coeficiente do segundo vetor é y.
Passo 3
Explicando com mais calma o que acabamos de fazer (para você poder reproduzir na prova):
Tomo um vetor genérico v\in S_{6}. Por definição v=(x,\,x+y,\,2x).
Mostro que existe a,b\in\mathbb{R} tais que v=a(1,1,2)+b(0,1,0). Basta escolher a=x e b=y.
Conclusão: \operatorname{span}\{(1,1,2),(0,1,0)\} contém S_{6}. Como a expressão é identidade, na verdade os dois conjuntos coincidem: todo vetor de S_{6} é obtido assim.
Passo 4
Agora precisamos verificar se os vetores (1,1,2)\) e \((0,1,0)\) são linearmente independentes (essa é a outra condição necessária para formarem uma base). Teste de independência:
Suponha que existam escalares \(a,b\) com
\[a(1,1,2)+b(0,1,0)=(0,0,0).
Da primeira equação vem a=0\]. Substituindo na segunda dá \(b=0. A terceira é consistente com a=0. Portanto a única solução é a=b=0, isto é, os vetores são linearmente independentes.]
Passo 5
Resumo lógico (como declarar na prova):
Mostrei que todo vetor de S_{6} pode ser escrito como combinação linear de (1,1,2) e (0,1,0) (ou seja, esses vetores geram S_{6}).
Mostrei que esses dois vetores são linearmente independentes.
Logo eles formam uma base de S_{6}. Consequentemente \dim S_{6}=2.
Passo 6
Um teste rápido por exemplo numérico (para ficar mais concreto): escolha x=1, y=2. O vetor (1,3,2)\in S_{6} e temos
(1,3,2)=1\cdot(1,1,2)+2\cdot(0,1,0).
Isso confirma na prática a escrita como combinação linear.