Questão (02(6,0)) : (O) ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade § de determinado poluente (em (mg / l) ) está diminuindo de acordo com a função P=P_{0} e^{-k t}, onde o tempo (t) é medido em horas. Sabendo que (10 %) da poluição são removidos nas cinco primeiras horas:
Determine quanto tempo vai levar para que a poluição seja reduzida de (50 %).

Passo 1

O enunciado dá uma lei de decaimento exponencial da poluição:
P=P_{0}e^{-k t},
onde \,t está em horas, \,P_{0} é a poluição inicial e \,k é a constante de decaimento (em \text{h}^{-1}). Informações fornecidas:
  • Nas primeiras cinco horas são removidos 10\% da poluição. Ou seja, após 5 horas resta 90\% da original.
  • Pergunta: determinar quanto tempo leva para que a poluição seja reduzida em 50\% (isto é, para que reste metade da poluição inicial).

Passo 2

Traduzir a informação “10% removidos nas cinco primeiras horas” em equação usando o modelo. Após 5 horas temos:
P(5)=P_{0}e^{-k\cdot 5}.
Como restam 90\% de P_{0}, vale
P(5)=0{,}90\,P_{0}.
Igualando as duas expressões:
P_{0}e^{-5k}=0{,}90\,P_{0}.

Passo 3

Cancelar P_{0} (assumindo P_{0}\neq0) e resolver para k:
e^{-5k}=0{,}90.
Aplicando o logaritmo natural (função inversa da exponencial) em ambos os lados:
-5k=\ln(0{,}90).
Logo
k=-\dfrac{1}{5}\ln(0{,}90).
Podemos escrever de forma equivalente usando \ln(1/x)=-\ln x:
k=\dfrac{1}{5}\ln\!\left(\dfrac{10}{9}\right).

Passo 4

Calcular numericamente k. Usando \ln(0{,}90)\approx-0{,}1053605, tem-se
k=-\dfrac{1}{5}\cdot(-0{,}1053605)\approx0{,}0210721\\ \text{h}^{-1}.
Interpretação rápida: a cada hora a fração restante decresce segundo essa taxa.

Passo 5

Agora achar t tal que P(t)=0{,}50\,P_{0}. Usando o modelo:
P_{0}e^{-k t}=0{,}50\,P_{0}.
Cancelar P_{0} e proceder como antes:
e^{-k t}=0{,}50\quad\Rightarrow\quad -k t=\ln(0{,}50)=-\ln 2.
Portanto a expressão para o tempo é
t=\dfrac{\ln 2}{k}.

Passo 6

Substituir k pela expressão encontrada. Usando k=\dfrac{1}{5}\ln\!\left(\dfrac{10}{9}\right) fica
t=\dfrac{\ln 2}{\tfrac{1}{5}\ln\!\left(\dfrac{10}{9}\right)}=5\,\dfrac{\ln 2}{\ln\!\left(\dfrac{10}{9}\right)}.
Este é o resultado exato em horas.

Passo 7

Calcular numericamente:
\ln 2\approx0{,}693147,\qquad \ln\!\left(\dfrac{10}{9}\right)\approx0{,}1053605.
Logo
t\approx 5\cdot\dfrac{0{,}693147}{0{,}1053605}\approx32{,}90\\ \text{horas}.
Em termos práticos, isso dá cerca de 32 horas e 54 minutos.

Resposta

\displaystyle t=\dfrac{5\ln 2}{\ln\!\left(\dfrac{10}{9}\right)}\approx32{,}90\\ \text{horas}

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