Questão (02(6,0)) : (O) ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade § de determinado poluente (em (mg / l) ) está diminuindo de acordo com a função P=P_{0} e^{-k t}, onde o tempo (t) é medido em horas. Sabendo que (10 %) da poluição são removidos nas cinco primeiras horas:
Determine quanto tempo vai levar para que a poluição seja reduzida de (50 %).
Determine quanto tempo vai levar para que a poluição seja reduzida de (50 %).
Passo 1
O enunciado dá uma lei de decaimento exponencial da poluição:
onde
está em horas,
é a poluição inicial e
é a constante de decaimento (em
). Informações fornecidas:
- Nas primeiras cinco horas são removidos
da poluição. Ou seja, após horas resta da original. - Pergunta: determinar quanto tempo leva para que a poluição seja reduzida em
(isto é, para que reste metade da poluição inicial).
Passo 2
Traduzir a informação “10% removidos nas cinco primeiras horas” em equação usando o modelo. Após
horas temos:
Como restam
de
, vale
Igualando as duas expressões:
Passo 3
Cancelar
(assumindo
) e resolver para
:
Aplicando o logaritmo natural (função inversa da exponencial) em ambos os lados:
Logo
Podemos escrever de forma equivalente usando
:
Passo 4
Calcular numericamente
. Usando
, tem-se
Interpretação rápida: a cada hora a fração restante decresce segundo essa taxa.
Passo 5
Agora achar
tal que
. Usando o modelo:
Cancelar
e proceder como antes:
Portanto a expressão para o tempo é
Passo 6
Substituir
pela expressão encontrada. Usando
fica
Este é o resultado exato em horas.
Passo 7
Calcular numericamente:
Logo
Em termos práticos, isso dá cerca de
horas e
minutos.