Questão (03(6,0)) Sabendo que:
  • A fórmula usada para converter a temperatura (x) em Celsius para Kelvin é K(x)=x+273,16.
  • A fórmula para converter a temperatura em Fahrenheit (x) em Celsius é C(x)=\frac{5(x-32)}{9}.
    (b) Encontre (K \circ C)(x). Explique para que pode ser usada essa fórmula.

Passo 1

O enunciado nos dá duas fórmulas de conversão de temperaturas:
  • K(x)=x+273,16, que converte uma temperatura x em graus Celsius para Kelvin.
  • C(x)=\dfrac{5(x-32)}{9}, que converte uma temperatura x em graus Fahrenheit para Celsius.
O que é pedido:
  • Calcular (K\circ C)(x), isto é, a composição de K com C.
  • Explicar para que essa fórmula pode ser usada.
Informações relevantes extraídas:
  • A entrada x na função C está em graus Fahrenheit.
  • A função K espera uma temperatura em graus Celsius como entrada.
  • Portanto, (K\circ C)(x) deve dar a temperatura em Kelvin quando x está em Fahrenheit.

Passo 2

Entendendo o que é composição de funções (aulas rápidas, tipo bate-papo):
  • Se temos duas funções f e g, a composição (f\circ g)(x) significa primeiro aplicar g ao x e depois aplicar f ao resultado; ou seja,
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
  • Aqui queremos (K\circ C)(x)=K\big(C(x)\big): primeiro transformar x (em Fahrenheit) para Celsius com C, depois transformar esse Celsius para Kelvin com K.

Passo 3

Aplicando a definição de composição ao caso dado:
(K\circ C)(x)=K\big(C(x)\big).
Como K(y)=y+273,16, basta substituir y=C(x). Então
(K\circ C)(x)=C(x)+273,16.

Passo 4

Substituir explicitamente a fórmula de C(x):
(K\circ C)(x)=\frac{5(x-32)}{9}+273,16.
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a temperatura em graus Fahrenheit ( ^\circ\!F);
  • o resultado de (K\circ C)(x) será a temperatura correspondente em Kelvin ( K).

Passo 5

Fazer a simplificação algébrica passo a passo (pra você poder fazer na prova sem surtar):
  1. Expandir o numerador da fração:
5(x-32)=5x-160.
  1. Colocar os termos sobre um mesmo denominador 9:
\frac{5x-160}{9}+273,16=\frac{5x-160}{9}+\frac{9\cdot273,16}{9}.
  1. Calcular 9\cdot273,16:
9\cdot273,16=2458,44.
  1. Somar os numeradores:
5x-160+2458,44=5x+2298,44.

Passo 6

Reescrevendo como uma única fração:
(K\circ C)(x)=\frac{5x+2298,44}{9}.
Essa é a forma simplificada e equivalente à forma \dfrac{5(x-32)}{9}+273,16. Ambas representam a conversão direta de graus Fahrenheit para Kelvin.
Explicação de uso (curtinha e prática): essa fórmula serve para converter diretamente uma temperatura dada em Fahrenheit para Kelvin, sem passar explicitamente pelo passo “primeiro Celsius, depois Kelvin” — ela faz os dois passos de uma vez. Um exemplo rápido: para x=32 (ponto de congelamento da água em Fahrenheit),
(K\circ C)(32)=\frac{5(32-32)}{9}+273,16=0+273,16=273,16\\ \text{K}.

Resposta

(K\circ C)(x)=\dfrac{5(x-32)}{9}+273,16=\dfrac{5x+2298,44}{9}
Serve para converter diretamente uma temperatura x em graus Fahrenheit para a temperatura correspondente em Kelvin.

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