Questão (03(6,0)) Sabendo que:
- A fórmula usada para converter a temperatura (x) em Celsius para Kelvin é K(x)=x+273,16.
- A fórmula para converter a temperatura em Fahrenheit (x) em Celsius é C(x)=\frac{5(x-32)}{9}.
(b) Encontre (K \circ C)(x). Explique para que pode ser usada essa fórmula.
(b) Encontre (K \circ C)(x). Explique para que pode ser usada essa fórmula.
Passo 1
O enunciado nos dá duas fórmulas de conversão de temperaturas:
-
, que converte uma temperatura em graus Celsius para Kelvin. -
, que converte uma temperatura em graus Fahrenheit para Celsius.
O que é pedido:
- Calcular
, isto é, a composição de com . - Explicar para que essa fórmula pode ser usada.
Informações relevantes extraídas:
- A entrada
na função está em graus Fahrenheit. - A função
espera uma temperatura em graus Celsius como entrada. - Portanto,
deve dar a temperatura em Kelvin quando está em Fahrenheit.
Passo 2
Entendendo o que é composição de funções (aulas rápidas, tipo bate-papo):
- Se temos duas funções
e , a composição significa primeiro aplicar ao e depois aplicar ao resultado; ou seja,
- Aqui queremos
: primeiro transformar (em Fahrenheit) para Celsius com , depois transformar esse Celsius para Kelvin com .
Passo 3
Aplicando a definição de composição ao caso dado:
Como
, basta substituir
. Então
Passo 4
Substituir explicitamente a fórmula de
:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a temperatura em graus Fahrenheit ( ); - o resultado de
será a temperatura correspondente em Kelvin ( ).
Passo 5
Fazer a simplificação algébrica passo a passo (pra você poder fazer na prova sem surtar):
- Expandir o numerador da fração:
- Colocar os termos sobre um mesmo denominador
:
- Calcular
:
- Somar os numeradores:
Passo 6
Reescrevendo como uma única fração:
Essa é a forma simplificada e equivalente à forma
. Ambas representam a conversão direta de graus Fahrenheit para Kelvin.
Explicação de uso (curtinha e prática): essa fórmula serve para converter diretamente uma temperatura dada em Fahrenheit para Kelvin, sem passar explicitamente pelo passo “primeiro Celsius, depois Kelvin” — ela faz os dois passos de uma vez. Um exemplo rápido: para
(ponto de congelamento da água em Fahrenheit),
Resposta
Serve para converter diretamente uma temperatura