Questão (03(6,0)) Sabendo que:
  • A fórmula usada para converter a temperatura (x) em Celsius para Kelvin é K(x)=x+273,16.
  • A fórmula para converter a temperatura em Fahrenheit (x) em Celsius é C(x)=\frac{5(x-32)}{9}.
    (a) Encontre uma expressão para C^{-1}(x). Explique para que pode ser usada essa fórmula.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar uma expressão para C^{-1}(x), onde C(x)=\dfrac{5(x-32)}{9}.
  • Explicar para que essa fórmula pode ser usada.
Informações dadas que vamos usar:
  • C(x)=\dfrac{5(x-32)}{9} (converte Fahrenheit \to Celsius).
  • A outra fórmula K(x)=x+273,16 está no enunciado, mas não é necessária para este item (a).

Passo 2

O que é achar C^{-1}?
A função inversa troca entradas por saídas: se y=C(x), então C^{-1}(y)=x. Para encontrar C^{-1} escrevemos y=C(x) e resolvemos essa equação para x em termos de y. Depois trocamos a letra y por x para escrever a inversa como função usual.

Passo 3

Começo impondo a definição:
y=\frac{5(x-32)}{9}
Aqui x é a temperatura em Fahrenheit (entrada original) e y é a temperatura em Celsius (saída original).

Passo 4

Isolo x passo a passo. Multiplico ambos os lados por 9:
9y=5(x-32)

Passo 5

Divido ambos os lados por 5:
\frac{9y}{5}=x-32

Passo 6

Somando 32 em ambos os lados para obter x:
x=\frac{9y}{5}+32
Agora troco o nome da variável y por x (convenção para escrever a função inversa) e obtenho a expressão final da inversa:
C^{-1}(x)=\frac{9}{5}x+32

Passo 7

Interpretação prática e verificação rápida:
  • Uso: C^{-1} converte temperatura de Celsius para Fahrenheit. Ou seja, dado um valor em Celsius (entrada da inversa), C^{-1} dá o valor correspondente em Fahrenheit (saída).
  • Exemplos rápidos:
C^{-1}(0)=\frac{9}{5}\cdot 0+32=32
então 0^\circ\text{C} corresponde a 32^\circ\text{F}.
C^{-1}(100)=\frac{9}{5}\cdot 100+32=180+32=212
então 100^\circ\text{C} corresponde a 212^\circ\text{F}.
  • Verificação algébrica curta: C(C^{-1}(x))=\dfrac{5\big((\tfrac{9}{5}x+32)-32\big)}{9}=\dfrac{5\cdot(\tfrac{9}{5}x)}{9}=x, logo compor a função com sua inversa retorna o valor original.

Resposta

C^{-1}(x)=\dfrac{9}{5}x+32
Serve para converter uma temperatura dada em Celsius para seu valor em Fahrenheit.

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