Questão (04(7,0)) : Classifique cada uma das afirmativas abaixo como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(g \circ f)(x)=(f \circ g)(x) para quaisquer funções f e g com domínio real.

Passo 1

O enunciado pede: classificar como verdadeira ou falsa a afirmação
(g\circ f)(x)=(f\circ g)(x) para quaisquer funções f e g com domínio real, e justificar a resposta.
Informações dadas:
  • As funções f e g têm domínio \mathbb{R} (isto é, estão definidas para todo x\in\mathbb{R}).
  • A afirmação pretende que a composição de funções seja sempre comutativa, isto é, que a ordem em que se compõem não importe.

Passo 2

O que significa a composição de funções? Vou definir e explicar devagarzinho.
  • A composição g\circ f é a função obtida aplicando primeiro f em x e em seguida aplicando g ao resultado. Em símbolos:
(g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Analogamente,
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Para que essas expressões façam sentido é preciso que a imagem de f esteja dentro do domínio de g. Aqui o enunciado diz que ambos têm domínio \mathbb{R} e, implicitamente, estão tomando valores em \mathbb{R}, então as duas composições estão bem definidas.

Passo 3

O que significa a afirmação ser verdadeira para “quaisquer” f e g? Significa que, para todos os pares de funções f,g definidas em \mathbb{R}, deveríamos ter
g(f(x))=f(g(x))\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isso é uma condição muito forte: exige igualdade ponto a ponto para todo x. Em geral, quando se aplicam duas regras diferentes em ordens diferentes, o resultado muda — não há razão matemática geral para que aplicar f e depois g dê sempre o mesmo que aplicar g e depois f. Para decidir a veracidade da afirmação, basta encontrar um contraexemplo (um par f,g para os quais as composições são diferentes).

Passo 4

Vou construir um contraexemplo simples (fácil de calcular à mão). Escolho
f(x)=x+1,\qquad g(x)=2x,
ambas definidas para todo x\in\mathbb{R}. Agora calculo as duas composições passo a passo.
Calcule g\circ f:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=2(x+1)=2x+2.
Calcule f\circ g:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x)=2x+1.
Compare os dois resultados: (g\circ f)(x)=2x+2 e (f\circ g)(x)=2x+1. Esses dois polinômios são diferentes — por exemplo, em x=0 obtemos (g\circ f)(0)=2 e (f\circ g)(0)=1. Logo as composições não coincidem para todo x. Assim a afirmação "para quaisquer funções f e g vale (g\circ f)(x)=(f\circ g)(x)" é falsa.

Passo 5

Para aprender como reconhecer quando composições podem ser iguais: a condição para que g\circ f=f\circ g é simplesmente
g(f(x))=f(g(x))\quad\text{para todo }x,
ou seja, f e g “comutam” sob composição. Alguns casos em que isso acontece:
  • se f for a função identidade \mathrm{id}(x)=x, então \mathrm{id}\circ g=g\circ\mathrm{id}=g para todo g (a identidade comuta com toda função);
  • se f=g, então g\circ f=f\circ g trivialmente;
  • há pares diferentes que também comutam: por exemplo, f(x)=x+1 e g(x)=x+2 (ambos translações) têm
g(f(x))=(x+1)+2=x+3=f(g(x)),
ou seja, nem sempre são iguais só se iguais, mas depende da estrutura das funções envolvidas.

Passo 6

Resumo amigo: a igualdade de composições para quaisquer f e g seria uma propriedade global muito forte que não vale em geral. Basta um contraexemplo (como os escolhidos) para mostrar que a afirmação é falsa. Portanto, na prova, sempre que ver uma afirmação universal desse tipo sobre composições, pense em testar com funções simples (reta, escala, identidade, etc.) — quase sempre aparece um contraexemplo fácil.

Resposta

Falsa

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