Questão (04(7,0)) : Classifique cada uma das afirmativas abaixo como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
para quaisquer funções
e
com domínio real.
Passo 1
O enunciado pede: classificar como verdadeira ou falsa a afirmação
para quaisquer funções
e
com domínio real, e justificar a resposta.
Informações dadas:
Informações dadas:
- As funções
e têm domínio (isto é, estão definidas para todo ). - A afirmação pretende que a composição de funções seja sempre comutativa, isto é, que a ordem em que se compõem não importe.
Passo 2
O que significa a composição de funções? Vou definir e explicar devagarzinho.
- A composição
é a função obtida aplicando primeiro em e em seguida aplicando ao resultado. Em símbolos:
- Analogamente,
Para que essas expressões façam sentido é preciso que a imagem de
esteja dentro do domínio de
. Aqui o enunciado diz que ambos têm domínio
e, implicitamente, estão tomando valores em
, então as duas composições estão bem definidas.
Passo 3
O que significa a afirmação ser verdadeira para “quaisquer”
e
? Significa que, para todos os pares de funções
definidas em
, deveríamos ter
Isso é uma condição muito forte: exige igualdade ponto a ponto para todo
. Em geral, quando se aplicam duas regras diferentes em ordens diferentes, o resultado muda — não há razão matemática geral para que aplicar
e depois
dê sempre o mesmo que aplicar
e depois
. Para decidir a veracidade da afirmação, basta encontrar um contraexemplo (um par
para os quais as composições são diferentes).
Passo 4
Vou construir um contraexemplo simples (fácil de calcular à mão). Escolho
ambas definidas para todo
. Agora calculo as duas composições passo a passo.
Calcule
:
Calcule
:
Compare os dois resultados:
e
. Esses dois polinômios são diferentes — por exemplo, em
obtemos
e
. Logo as composições não coincidem para todo
. Assim a afirmação "para quaisquer funções
e
vale
" é falsa.
Passo 5
Para aprender como reconhecer quando composições podem ser iguais: a condição para que
é simplesmente
ou seja,
e
“comutam” sob composição. Alguns casos em que isso acontece:
- se
for a função identidade , então para todo (a identidade comuta com toda função); - se
, então trivialmente; - há pares diferentes que também comutam: por exemplo,
e (ambos translações) têm
ou seja, nem sempre são iguais só se iguais, mas depende da estrutura das funções envolvidas.
Passo 6
Resumo amigo: a igualdade de composições para quaisquer
e
seria uma propriedade global muito forte que não vale em geral. Basta um contraexemplo (como os escolhidos) para mostrar que a afirmação é falsa. Portanto, na prova, sempre que ver uma afirmação universal desse tipo sobre composições, pense em testar com funções simples (reta, escala, identidade, etc.) — quase sempre aparece um contraexemplo fácil.
Resposta
Falsa