Questão 02: Integrais definidas
Calcule as integrais definidas abaixo.
(c) (1,0) integral4^6 d x5 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral4^6dx5x - x^2.
Aqui temos uma integral definida cujo integrando fica singular em x=5, pois
5x - x^2 = x(5 - x)=0em x=0,5
Como x=5 está no interior do intervalo de integração, trata-se de uma integral imprópria. Vamos usar frações parciais e avaliar os limites laterais.

Passo 2

Dividimos a integral em duas partes impróprias, separando em x=5:
integral4^6dx5x - x^2 =integral4^5^-dxx(5-x) +integral5^+^6dxx(5-x)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1x(5-x) =Ax+B5-x
Temos
1 = A(5-x) + Bx,
para todo x. Tomando x=0Rightarrow A=tfrac15 e x=5Rightarrow B=tfrac15. Logo
1x(5-x) =15l(1x+15-xr)

Passo 4

Um antiderivado comum é
F(x) =integraldx5x-x^2 =15lnl|x5-xr| + C
Agora avaliamo-lo nos limites:
Para a parte de 4 a 5^-:
limbto5^-integral4^bdx5x-x^2 =limbto5^-l[F(b)-F(4)r] =limbto5^-15l(lnl|tfracb5-br|-ln4r) =+infty
Para a parte de 5^+ a 6:
limato5^+integrala^6dx5x-x^2 =limato5^+l[F(6)-F(a)r] =15l(ln6-limato5^+lnl|tfraca5-ar|r) =-infty
Cada parte diverge (uma para +infty, outra para -infty), logo a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge; não existe valor finito.

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