QUESTÃO 02. (Materiais compostos em série)
Uma parede é composta por três camadas planas justapostas:
  • Tijolo ( \mathrm{k}=0,72 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, espessura =15 \mathrm{~cm} )
  • Isolante de lã de vidro (\mathrm{k}=0,04 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, espessura =5 \mathrm{~cm})
  • Argamassa ( \mathrm{k}=1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, espessura =10 \mathrm{~cm} )
    a) A diferença de temperatura entre as faces externa e interna é de 30^{\circ} \mathrm{C}. Determine a taxa de transferência de calor por unidade de área.
    b) A partir dos resultados, explique, de forma conceitual, por que o uso de materiais compostos (como tijolo + isolante + concreto) reduz significativamente a transferência de calor em edificações quando comparado a uma parede homogênea de concreto.

Passo 1

Dados fornecidos:
\text{camada 1 (tijolo): } k_1=0,72\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ L_1=0,15\\ \mathrm{m}
\text{camada 2 (lã de vidro): } k_2=0,04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ L_2=0,05\\ \mathrm{m}ã
\text{camada 3 (argamassa): } k_3=1,4\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ L_3=0,10\\ \mathrm{m}
Diferença de temperatura entre faces externa e interna:
\Delta T = 30^\circ\mathrm{C}
Pedidos:
a) Determinar a taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo de calor por m²).\n
b) Explicar conceitualmente por que usar materiais compostos (tijolo + isolante + concreto) reduz significativamente a transferência de calor em relação a uma parede homogênea de concreto.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para condução unidimensional estacionária em camadas planas em série, a queda de temperatura total é a soma das quedas em cada camada. A taxa de calor (por unidade de área) \dot{q}'' satisfaz a forma análoga à lei de Ohm:
\dot{q}''=\frac{\Delta T}{\sum_{i} R_i}
onde cada resistência térmica de condução por unidade de área é
R_i=\frac{L_i}{k_i}
Explicando as variáveis:
  • \dot{q}'' é o fluxo de calor por unidade de área ( \mathrm{W/m^2}).
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre as faces ( \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}; as diferenças têm as mesmas unidades).
  • R_i é a resistência térmica da i-ésima camada por unidade de área (unidade \mathrm{K/W} quando assumimos área 1\\ \mathrm{m^2}).
  • L_i é a espessura da i-ésima camada (m).
  • k_i é a condutividade térmica da i-ésima camada ( \mathrm{W/(m\cdot K)}).
    Comentário prático: como queremos “por unidade de área”, tomamos A=1\\ \mathrm{m^2}, então R_i=L_i/(k_i A)=L_i/k_i.

Passo 3

Cálculo das resistências de cada camada (mostrando contas passo a passo):
R_1=\frac{L_1}{k_1}=\frac{0,15}{0,72}=0,208333\\ \mathrm{K/W}
R_2=\frac{L_2}{k_2}=\frac{0,05}{0,04}=1,25\\ \mathrm{K/W}
R_3=\frac{L_3}{k_3}=\frac{0,10}{1,4}=0,0714286\\ \mathrm{K/W}
Soma das resistências:
\sum_i R_i = R_1+R_2+R_3 = 0,208333+1,25+0,0714286 = 1,5297616\\ \mathrm{K/W}
(Dados arredondáveis conforme necessidade; aqui mantenho precisão suficiente.)

Passo 4

Cálculo do fluxo de calor por unidade de área usando a fórmula:
\dot{q}''=\frac{\Delta T}{\sum_i R_i}=\frac{30}{1,5297616}=19,61\\ \mathrm{W/m^2}
Verificação de unidade: \Delta T em K dividido por R em K/W dá \mathrm{W}; como trabalhamos por unidade de área, o resultado é \mathrm{W/m^2}.
Observação prática: a camada isolante domina a resistência total. Percentual da resistência devido à lã de vidro:
\frac{R_2}{\sum_i R_i}=\frac{1,25}{1,5297616}=0,817\approx81,7\%
ou seja, a maior parte da resistência térmica vem da camada de isolante.

Passo 5

Resposta conceitual (explicação didática e comparação numérica ilustrativa):
  • A resistência térmica de cada camada cresce com a espessura e diminui com a condutividade: R=L/k. Portanto, materiais com condutividade muito baixa (isolantes) produzem resistências grandes mesmo com pouca espessura.
  • Numa parede composta, basta uma camada fina de material com k pequeno para aumentar muito a resistência total e assim reduzir fortemente o fluxo de calor. No nosso exemplo a lâ de vidro, apesar de ter só 0,05\\ \mathrm{m}, fornece cerca de 81{,}7\% da resistência total.
  • Comparação numérica ilustrativa com uma parede homogênea de concreto (usar k=1{,}4\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} como referência, mesma espessura total 0{,}30\\ \mathrm{m}):
R_{\text{concreto}}=\frac{0,30}{1,4}=0,214286\\ \mathrm{K/W}
\dot{q}''_{\text{concreto}}=\frac{30}{0,214286}=140\\ \mathrm{W/m^2}
Ou seja, a parede composta do exemplo (~ 19{,}6\\ \mathrm{W/m^2}) permite uma transferência de calor aproximadamente 7 vezes menor que a parede homogênea de concreto (~ 140\\ \mathrm{W/m^2}). Isso ilustra por que, em edifícios, combina-se materiais estruturais (tijolo/concreto) com uma camada isolante: obtém-se rigidez mecânica e, ao mesmo tempo, alta resistência térmica com pouco material isolante.

Resposta

(a) \dot{q}''=19,61\\ \mathrm{W/m^2}\n
(b) Porque a resistência térmica total é a soma das resistências das camadas R_i=L_i/k_i; uma camada de isolante com k muito baixo aumenta fortemente \sum_i R_i mesmo com pequena espessura, reduzindo muito o fluxo. No exemplo a lã de vidro fornece ~81,7% da resistência total e a parede composta reduz o fluxo em cerca de 7 vezes em comparação a uma parede homogênea de concreto (mesma espessura).

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