QUESTÃO 03. (Condução em cilindro)
Um tubo cilíndrico de aço ( \mathrm{k}=54 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) possui raio interno de 2 cm , raio externo de 4 cm e comprimento de 2 m . A temperatura na superfície interna é de 200^{\circ} \mathrm{C} e na superfície externa é de 80^{\circ} \mathrm{C}.
Calcule a taxa de transferência de calor por condução através do tubo.

Passo 1

O enunciado dá um tubo cilíndrico oco de aço com as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
\begin{aligned} &\text{condutividade térmica: } k = 54\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{raio interno: } r_i = 2\\ \text{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}\\\ &\text{raio externo: } r_o = 4\\ \text{cm} = 0,04\\ \mathrm{m}\\\ &\text{comprimento: } L = 2\\ \mathrm{m}\\\ &\text{temperatura na superfície interna: } T_i = 200^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{temperatura na superfície externa: } T_o = 80^\circ\mathrm{C} \end{aligned}éíí
O que o problema pede: calcular a taxa de transferência de calor por condução através do tubo (ou seja, \dot Q, potência térmica que atravessa a parede cilíndrica).

Passo 2

Ideia física e equação básica usada (explicadinha passo a passo): em regime estacionário, a transferência de calor radial em um cilindro oco é descrita pela Lei de Fourier aplicada radialmente. A forma diferencial da Lei de Fourier é
\dot q_r = -k\,A_r\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • \dot q_r é a taxa de calor (potência) atravessando a superfície cilíndrica de raio r (unidade: \mathrm{W});
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)});
  • A_r é a área através da qual o calor atravessa, neste caso a área lateral de um cilindro de comprimento L: A_r = 2\pi r L;
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente de temperatura radial.
Observação: em regime estacionário e sem geração interna, \dot q_r é independente de r (a mesma potência atravessa qualquer cilindro concêntrico entre r_i e r_o). Vou chamar essa potência de \dot Q.

Passo 3

Montando a equação diferencial e integrando (a dedução que você pode reproduzir na prova):
Substituindo A_r obtemos
\dot Q = -k (2\pi r L)\frac{dT}{dr}.
Isolando \dfrac{dT}{dr}:
\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot Q}{2\pi k L}\cdot\frac{1}{r}.
Agora integramos ambos os lados entre as fronteiras r=r_i (onde T=T_i) e r=r_o (onde T=T_o):
\int_{T_i}^{T_o} dT = -\frac{\dot Q}{2\pi k L}\int_{r_i}^{r_o}\frac{dr}{r}.
As integrais são simples:
T_o - T_i = -\frac{\dot Q}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).
Multiplicando por -1 e reorganizando para \dot Q:
\dot Q = \frac{2\pi k L (T_i - T_o)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Essa é a fórmula clássica para condução radial em uma casca cilíndrica. Interpretação: o denominador é a resistência térmica geométrica \ln(r_o/r_i)/(2\pi k L).

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
Primeiro a diferença de temperatura:
T_i - T_o = 200 - 80 = 120\\ \mathrm{K}.
O logaritmo:
\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right) = \ln\!\left(\frac{0,04}{0,02}\right) = \ln(2) \approx 0,693147.
O numerador:
2\pi k L (T_i - T_o) = 2\pi \cdot 54 \cdot 2 \cdot 120 = 25920\pi \\ \\ (\text{em }\mathrm{W}).
Valor numérico do numerador:
25920\pi \approx 81428{,}58\\ \mathrm{W}.
Agora a divisão:
\dot Q = \frac{81428{,}58}{0,693147}\\ \mathrm{W} \approx 117484\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
\dot Q \approx 1,17\times 10^{5}\\ \mathrm{W}.
Observação física final: o sinal positivo indica fluxo de calor do interior (mais quente) para o exterior (mais frio), ou seja, calor saindo radialmente para fora.

Passo 5

Dica prática para a prova: memorize a fórmula
\dot Q=\frac{2\pi k L (T_i-T_o)}{\ln(r_o/r_i)},
e pratique converter centímetros para metros antes de substituir. Se o enunciado pedir fluxo por unidade de comprimento (por exemplo em W/m), coloque L=1\\ \mathrm{m}. Aqui usamos L=2\\ \mathrm{m}.

Resposta

\dot Q \approx 1,17\times 10^{5}\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados