QUESTÃO 04. (Condução em esfera)
Uma esfera de cobre (
) possui raio interno de 5 cm e raio externo de 10 cm . A temperatura na superfície interna é de
e na superfície externa é de
. Determine a taxa de transferência de calor por condução através da esfera.
Uma esfera de cobre (
Passo 1
O enunciado fornece uma esfera oca de cobre com superfícies interna e externa a temperaturas diferentes e pede a taxa de transferência de calor por condução através da parede esférica. Dados fornecidos:
O que se pede: a taxa de transferência de calor por condução (potência térmica) através da esfera, isto é,
em watts. \n
Passo 2
Modelo físico e hipóteses (importantíssimo para saber qual fórmula usar):
- Estado estacionário (temperaturas constantes no tempo).
- Condução radial somente (simetria esférica), sem geração interna de calor.
- Condutividade térmica
constante (dado).
Nessas condições, o fluxo de calor radial é o mesmo em qualquer superfície esférica concêntrica dentro da parede; portanto podemos tratarcomo constante e aplicar a forma radial da Lei de Fourier. Não estou resolvendo ainda, só dizendo o que vou usar. \n
Passo 3
Equação diferencial básica (Lei de Fourier em coordenadas esféricas, forma radial) e interpretação das variáveis:
A lei de Fourier diz que o fluxo térmico radial através de uma área é
A lei de Fourier diz que o fluxo térmico radial através de uma área
onde:
-
é a taxa de calor atravessando a superfície (W). Aqui, por simetria, é independente de (estado estacionário). -
é a condutividade térmica ( ). -
é a área da superfície através da qual o calor passa. Para uma esfera de raio , . -
é o gradiente radial de temperatura.
Substituindoe chamando a taxa total simplesmente de (posso tirar o sinal depois para indicar sentido):
Aqui
é constante com
. \n
Passo 4
Integração para obter a relação entre
e as temperaturas nas superfícies:
Reescrevo a equação para separar variáveis:
Reescrevo a equação para separar variáveis:
Integro ambos os lados entre as fronteiras da casca esférica:
vai de
a
e
vai de
a
:
Calculo a integral no lado direito:
. Portanto
Simplificando:
Isolando
:
Como normalmente queremos o valor positivo da taxa e sabemos que o calor flui do quente para o frio (de
para
), é mais claro usar a diferença
e a diferença de inversos de raios na ordem correspondente:
Essa é a fórmula prática para a taxa de calor através de uma casca esférica. \n
Passo 5
Preparando para calcular: substituição dos valores numéricos (atenção às unidades e à diferença de temperatura):
Temperatura diferença:
Temperatura diferença:
Diferença de inversos dos raios:
Agora substituo na fórmula:
Passo 6
Cálculos finais (passo a passo, para fazer sem calculadora complexa):
logo
Aproximando
,
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas nos dados:
Sentido físico: o sinal positivo aqui indica a magnitude; o fluxo de calor vai da superfície interna (mais quente) para a superfície externa (mais fria). \n