QUESTÃO 04. (Condução em esfera)
Uma esfera de cobre ( \mathrm{k}=385 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) possui raio interno de 5 cm e raio externo de 10 cm . A temperatura na superfície interna é de 150^{\circ} \mathrm{C} e na superfície externa é de 50^{\circ} \mathrm{C}. Determine a taxa de transferência de calor por condução através da esfera.

Passo 1

O enunciado fornece uma esfera oca de cobre com superfícies interna e externa a temperaturas diferentes e pede a taxa de transferência de calor por condução através da parede esférica. Dados fornecidos:
k=385\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
\text{raio interno } r_i=5\\ \text{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}
\text{raio externo } r_o=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}
\text{temperatura na superfície interna } T_i=150^\circ\mathrm{C}í
\text{temperatura na superfície externa } T_o=50^\circ\mathrm{C}í
O que se pede: a taxa de transferência de calor por condução (potência térmica) através da esfera, isto é, q em watts. \n

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (importantíssimo para saber qual fórmula usar):
  • Estado estacionário (temperaturas constantes no tempo).
  • Condução radial somente (simetria esférica), sem geração interna de calor.
  • Condutividade térmica k constante (dado).
    Nessas condições, o fluxo de calor radial é o mesmo em qualquer superfície esférica concêntrica dentro da parede; portanto podemos tratar q como constante e aplicar a forma radial da Lei de Fourier. Não estou resolvendo ainda, só dizendo o que vou usar. \n

Passo 3

Equação diferencial básica (Lei de Fourier em coordenadas esféricas, forma radial) e interpretação das variáveis:
A lei de Fourier diz que o fluxo térmico radial através de uma área A é
q_r = -k\,A\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • q_r é a taxa de calor atravessando a superfície (W). Aqui, por simetria, é independente de r (estado estacionário).
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\cdot K)}).
  • A é a área da superfície através da qual o calor passa. Para uma esfera de raio r, A=4\pi r^2.
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
    Substituindo A=4\pi r^2 e chamando a taxa total simplesmente de q (posso tirar o sinal depois para indicar sentido):
q = -k\,4\pi r^2\,\frac{dT}{dr}.
Aqui q é constante com r. \n

Passo 4

Integração para obter a relação entre q e as temperaturas nas superfícies:
Reescrevo a equação para separar variáveis:
\frac{dT}{dr} = -\frac{q}{4\pi k}\,r^{-2}.
Integro ambos os lados entre as fronteiras da casca esférica: r vai de r_i a r_o e T vai de T_i a T_o:
\int_{T_i}^{T_o} dT = -\frac{q}{4\pi k} \int_{r_i}^{r_o} r^{-2}\,dr.
Calculo a integral no lado direito: \displaystyle \int r^{-2}dr = -\frac{1}{r}. Portanto
T_o - T_i = -\frac{q}{4\pi k}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_i}^{r_o} = -\frac{q}{4\pi k}\left(-\frac{1}{r_o} + \frac{1}{r_i}\right).
Simplificando:
T_o - T_i = \frac{q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_o} - \frac{1}{r_i}\right).
Isolando q:
q = 4\pi k\,\frac{T_o - T_i}{\dfrac{1}{r_o} - \dfrac{1}{r_i}}.
Como normalmente queremos o valor positivo da taxa e sabemos que o calor flui do quente para o frio (de T_i para T_o), é mais claro usar a diferença T_i-T_o e a diferença de inversos de raios na ordem correspondente:
q = 4\pi k\,\frac{T_i - T_o}{\dfrac{1}{r_i} - \dfrac{1}{r_o}}.
Essa é a fórmula prática para a taxa de calor através de uma casca esférica. \n

Passo 5

Preparando para calcular: substituição dos valores numéricos (atenção às unidades e à diferença de temperatura):
Temperatura diferença:
T_i-T_o = 150^\circ\mathrm{C}-50^\circ\mathrm{C}=100\\ \mathrm{K}.
Diferença de inversos dos raios:
\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_o}=\frac{1}{0{,}05}-\frac{1}{0{,}10}=20-10=10\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora substituo na fórmula:
q = 4\pi(385)\cdot\frac{100}{10}. \n

Passo 6

Cálculos finais (passo a passo, para fazer sem calculadora complexa):
\frac{100}{10}=10,
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q = 4\pi \cdot 385 \cdot 10 = 4\pi \cdot 3850 = 15400\pi\\ \mathrm{W}.
Aproximando \pi\approx 3{,}1416,
q \approx 15400\times 3{,}1416 \approx 48396\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas nos dados:
q \approx 4{,}84\times 10^{4}\\ \mathrm{W}.
Sentido físico: o sinal positivo aqui indica a magnitude; o fluxo de calor vai da superfície interna (mais quente) para a superfície externa (mais fria). \n

Resposta

q \approx 4{,}84\times 10^{4}\\ \mathrm{W}

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