Questão 01) ( \mathbf{2 , 0} pontos) Calcule o volume de um sólido retangular D delimitado pelos planos coordenados e os planos x=1 ; y=1 \mathrm{e} z=3. Construa a figura do sólido D no plano cartesiano ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um paralelepípedo D limitado pelos planos coordenados \{x=0\}, \{y=0\}, \{z=0\} e pelos planos \{x=1\}, \{y=1\}, \{z=3\}. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla de uma função constante.

Passo 2

Para obter o volume de D, tomamos a função f(x,y,z)=1 e integramos sobre a região
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1,\quad 0 \le z \le 3.

Passo 3

O volume é dado por
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{3}1\,dz\,dy\,dx.
Integramos em z:
\int_{z=0}^{3}1\,dz = 3.
Em seguida em y e x:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}3\,dy\,dx = \int_{x=0}^{1}\bigl[3y\bigr]_{y=0}^{1}dx = \int_{x=0}^{1}3\,dx = 3.

Passo 4

Para desenhar o sólido D num sistema de eixos ortogonais:
  • Marque o ponto (0,0,0) como origem.
  • Sobre o eixo x vá até x=1, sobre y até y=1 e sobre z até z=3.
  • Una esses extremos para formar um “caixote” cujas arestas têm comprimentos 1, 1 e 3, com faces paralelas aos planos coordenados.

Resposta

O volume de D é 3 unidades cúbicas.

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