Questão 02
Obtenha a solução geral da equação diferencial homogênea:
d yd x=y+raizx^2+y^2x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dydx=y+raizx^2+y^2x
Isso é uma equação homogênea de primeira ordem, pois o membro direito depende só da razão y/x. Para resolver, vamos usar a substituição clássica
y = v,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y=vx, temos
dydx=v + xdvdx
No lado direito substituímos y=vx em raizx^2+y^2=raizx^2(1+v^2)=xraiz1+v^2. Logo
dydx = vx + xraiz1+v^2x = v + raiz1+v^2
Igualando as duas expressões para dy/dx cancela v e sobra
v + xdvdx = v + raiz1+v^2 Longrightarrow xdvdx = raiz1+v^2

Passo 3

Agora separamos variáveis:
dvraiz1+v^2 = dxx
Integramos ambos os lados:
integral dvraiz1+v^2 = integral dxx Longrightarrow arcsinh(v) = lnl|xr| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original, v=y/x, obtemos a solução implícita
arcsinh!l(tfracyxr) = lnl|xr| + C
Se quiser, pode isolar y:
yx = sinhl(ln|x| + Cr) Longrightarrow y = x,sinhl(ln|x| + Cr)

Resposta

arcsinh!l(tfracyxr) = lnl|xr| + C,
ou equivalentemente
y = x,sinhl(ln|x| + Cr),
onde C é constante arbitrária.

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