(4) Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
\left(\left(1+\cos ^{2} x\right)^{\operatorname{sen} x}\right)^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = l(1 + cos^2xr)^sin x
O conteúdo aqui é a regra da cadeia aplicada a uma função da forma u(x)^v(x). Para resolver, vamos usar logaritmização, escrevendo y = e^ln y, e em seguida derivar.

Passo 2

Defina
g(x) = sin x ,lnl(1 + cos^2xr),
de modo que
y = e^g(x)
Pela regra da cadeia,
y' = e^g(x),g'(x) = y,g'(x) = l(1 + cos^2xr)^sin x,g'(x)

Passo 3

Calcule g'(x) aplicando regra do produto e cadeia:
g(x) = sin x cdot lnl(1 + cos^2xr)
Então
g'(x) = (sin x)',lnl(1 + cos^2xr) + sin x ,ddxl[lnl(1 + cos^2xr)r]
Como (sin x)' = cos x e
ddxl[ln(1 + cos^2x)r] = 11 + cos^2xcdot 2cos x,(-sin x) = -2cos x,sin x1 + cos^2x,
vem
g'(x) = cos x,lnl(1 + cos^2xr) + sin xcdot-2cos x,sin x1 + cos^2x = cos x,lnl(1 + cos^2xr) - 2cos x,sin^2x1 + cos^2x

Passo 4

Substituindo g'(x) em y' = y,g'(x), obtemos
ddxl[(1 + cos^2x)^sin xr] = (1 + cos^2x)^sin x gl[ cos x,lnl(1 + cos^2xr) - 2cos x,sin^2x1 + cos^2x gr]

Resposta

ddxl[(1 + cos^2x)^sin xr] = (1 + cos^2x)^sin x gl[ cos x,lnl(1 + cos^2xr) - 2cos x,sin^2x1 + cos^2x gr]

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