Find the unit tangent and unit normal vectors T(t) and N(t).
Use Formula 9 to find the curvature.
r(t)=lang<= 5 sin t, t, 5 cos trang<=

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=lang<= 5sin t,;t,;5cos trang<=
e pede o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e a curvatura kappa(t) usando a fórmula
kappa(t)=l|T'(t)r|l|r'(t)r|
Para isso vamos derivar r(t), normalizar para achar T(t), derivar T(t) para depois obter N(t) e kappa(t).

Passo 2

Calculemos a derivada
r'(t)=lang<= 5cos t,;1,;-5sin trang<=
e seu módulo:
l|r'(t)r| =raiz(5cos t)^2+1^2+(-5sin t)^2 =raiz25(cos^2t+sin^2t)+1 =raiz26

Passo 3

O vetor tangente unitário é
T(t) =r'(t)l|r'(t)r| =1raiz26lang<= 5cos t,;1,;-5sin trang<=

Passo 4

Derivando T(t) obtemos
T'(t) =1raiz26lang<= -5sin t,;0,;-5cos trang<=

Passo 5

Calculemos o módulo de T'(t):
l|T'(t)r| =1raiz26raiz(-5sin t)^2+0^2+(-5cos t)^2 =1raiz26raiz25(sin^2t+cos^2t) =5raiz26
Logo a curvatura é
kappa(t) =l|T'(t)r|l|r'(t)r| =5/raiz26raiz26 =526

Passo 6

Finalmente, o vetor normal unitário sai normalizando T'(t):
N(t) =T'(t)l|T'(t)r| =llang<= -sin t,;0,;-,cos trrang<=

Resposta

T(t) =1raiz26lang<= 5cos t,;1,;-5sin trang<=, N(t) =lang<= -sin t,;0,;-,cos trang<=, kappa(t)=526

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