Questão 02: Óleo de motor escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro e comprimento igual a 20 metros a uma vazão de
. O óleo entra no tubo a uma temperatura igual a
, enquanto a superficie do tubo é mantida a
. Calcule a temperatura de saída do óleo
e a taxa de transferência de calor total no tubo?
Dica: para efeitos de avaliação das propriedades do fluido, chute inicialmente um valor para a
ao menos
menor que a temperatura de superficie do tubo.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com clareza):
-
Dados do escoamento:
- Diâmetro interno do tubo:
. - Comprimento do tubo:
. - Vazão mássica do óleo:
. - Temperatura de entrada do óleo:
. - Temperatura superficial do tubo (mantida constante):
.
- Diâmetro interno do tubo:
-
O que é pedido:
- Calcular a temperatura de saída do óleo
. - Calcular a taxa de transferência de calor total no tubo
.
- Calcular a temperatura de saída do óleo
Observação do enunciado: usar uma estimativa inicial para
pelo menos
menor que
(dica para iteração).
Passo 2
Plano de resolução e fórmulas-chave (aula rápida e intuitiva antes de calcular):
-
Modelo de balanço de energia para o fluido ao longo do tubo:
- Em uma seção diferencial
, a variação de energia do fluido é igual ao fluxo de calor recebido pela parede nessa seção. Isso leva à equação diferencial
onde:-
é a vazão mássica ( ), -
é o calor específico do fluido ( ), -
é a temperatura média do fluido no ponto (temperatura “bulk”), -
é o coeficiente convectivo médio ( ), -
é o perímetro molhado do tubo ( ), -
é a temperatura da parede (constante).
Integrando essa EDO com condiçãoobtemos a solução conhecida Em particular, para(saída): onde definimos o número de transferênciacomo A taxa de calor total é simplesmente o balanço energético: - Em uma seção diferencial
-
Como obter
: precisamos de uma correlação convectiva interna. Primeiro calculamos o regime (Reynolds): ondeé a velocidade média do fluido e . O número de Prandtl é - Se o escoamento for laminar e termicamente desenvolvido numa tubulação circular com parede a temperatura constante, o número de Nusselt adimensional é aproximadamente constante:
- Então
.
-
Como as propriedades físicas do óleo dependem de temperatura, usaremos um processo iterativo:
- chute inicial para
(dica: pelo menos abaixo de ), - com esse chute calcular temperatura média do fluido e temperatura de filme para escolher as propriedades
, , , , - calcular
, , obter novo pela fórmula acima, - repetir até convergência.
- chute inicial para
Vou aplicar esse método passo a passo, explicando cada fórmula utilizada.
Passo 3
Dados geométricos e velocidade média (contas diretas, explicando cada quantidade):
- Área da seção transversal:
Calculemos numericamente:
- Perímetro molhado:
- Velocidade média do fluido:
Atenção:
depende de temperatura; na primeira iteração vamos assumir um valor típico (ver passo seguinte). Vou explicar a escolha de propriedades no próximo passo.
Passo 4
Escolha inicial de propriedades e primeiro chute para iniciar a iteração (explicando a escolha):
Pelo enunciado, faço um chute inicial para
(que é
abaixo de
, seguindo a dica). A partir desse chute determinamos uma temperatura de filme para escolher propriedades “típicas” do óleo.
- Temperatura média do fluido (bulk average) aproximada com o chute:
- Temperatura de filme (média entre parede e bulk médio):
Agora escolho propriedades típicas de óleo lubrificante à temperatura de filme
. Para problemas desse tipo em provas costuma-se assumir valores médios plausíveis; escolho:
- Densidade:
(ordem de grandeza típica para óleo de motor aquecido). - Calor específico:
. - Condutividade térmica:
. - Viscosidade dinâmica:
(15 mPa·s — valor razoável para óleo aquecido).
(Obs.: escolhi valores típicos; se tivesse tabela do óleo eu usaria exatamente dela. Para o objetivo da prova e do método iterativo, esses valores são aceitáveis.)
Com
posso calcular a velocidade média:
Reynolds:
Comentário didático:
indica o regime do escoamento. Como
, o escoamento é laminar. Para laminar em tubo circular e comprimento tão grande como aqui (veja
abaixo), podemos usar a solução para fluxo totalmente desenvolvido.
Verificação do desenvolvimento térmico/hidrodinâmico:
portanto o escoamento tem comprimento suficiente para que as condições termodinâmicas e hidrodinâmicas se desenvolvam — justifica usar o valor de Nusselt para regime desenvolvido.
Para escoamento laminar totalmente desenvolvido com parede a temperatura constante vale (resultado clássico):
Então:
Passo 5
Calcular
, obter
e
(primeira iteração numérica):
- Multiplicador no expoente (NTU):
Calcule:
e
Logo
- Temperatura de saída:
Calcule:
- Taxa de transferência de calor:
Comentário: o chute inicial
levou a um
muito menor (
). Isso mostra que o aquecimento do óleo é fraco devido ao pequeno coeficiente convectivo (líquido viscoso, fluxo laminar) e à grande resistência na interface fluido-parede.
Passo 6
Verificação e iteração rápida (garantir consistência das propriedades com a temperatura obtida):
- Com o resultado
, a média bulk aproximada é
- Temperatura de filme real:
Agora, se eu reavaliar as propriedades do óleo a
, os valores típicos seriam um pouco diferentes (p.ex.
um pouco maior que no caso de 118ºC), mas não muda a ordem de grandeza:
,
,
,
. Se recalculássemos com
teríamos
ainda laminar e
(mesmo
porque
e
não mudam muito), então o resultado numérico para
muda pouquíssimo (a NTU permanece ~0,03). Portanto a solução já está essencialmente convergida: o óleo aquece muito pouco ao atravessar o tubo nas condições dadas.
Passo 7
Interpretação final (breve e motivacional): o fluxo é laminar e o coeficiente convectivo é baixo; por isso mesmo com a parede a
o fluido somente se aquece alguns graus ao atravessar 20 m do tubo. O método usado é robusto e, em prova, vale explicar que se teve que assumir propriedades médias e mostrar que a escolha não altera qualitativamente a resposta porque o número adimensional
é pequeno.