Questão 02: Óleo de motor escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro e comprimento igual a 20 metros a uma vazão de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O óleo entra no tubo a uma temperatura igual a 30^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a superficie do tubo é mantida a 150^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a temperatura de saída do óleo \left(\mathrm{T}_{\mathrm{m}, \mathrm{sai}}\right) e a taxa de transferência de calor total no tubo?
Dica: para efeitos de avaliação das propriedades do fluido, chute inicialmente um valor para a \mathrm{T}_{\mathrm{m}, \text { sai }} ao menos 10^{\circ} \mathrm{C} menor que a temperatura de superficie do tubo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com clareza):
  • Dados do escoamento:
    • Diâmetro interno do tubo: D=0,025\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do tubo: L=20\\ \mathrm{m}.
    • Vazão mássica do óleo: \dot{m}=0,5\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura de entrada do óleo: T_{\mathrm{in}}=30^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura superficial do tubo (mantida constante): T_s=150^\circ\mathrm{C}.
  • O que é pedido:
    • Calcular a temperatura de saída do óleo \left(T_{\mathrm{m,sai}}\right).
    • Calcular a taxa de transferência de calor total no tubo \left(\dot{Q}\right).
Observação do enunciado: usar uma estimativa inicial para T_{\mathrm{m,sai}} pelo menos 10^\circ\mathrm{C} menor que T_s (dica para iteração).

Passo 2

Plano de resolução e fórmulas-chave (aula rápida e intuitiva antes de calcular):
  1. Modelo de balanço de energia para o fluido ao longo do tubo:
    • Em uma seção diferencial dx, a variação de energia do fluido é igual ao fluxo de calor recebido pela parede nessa seção. Isso leva à equação diferencial
    \dot{m}\,c_p\,\frac{dT_b}{dx}=h\,P\,(T_s-T_b),
    onde:
    • \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}),
    • c_p é o calor específico do fluido ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
    • T_b(x) é a temperatura média do fluido no ponto x (temperatura “bulk”),
    • h é o coeficiente convectivo médio ( \mathrm{W/(m^2\cdot K)}),
    • P é o perímetro molhado do tubo ( \mathrm{m}),
    • T_s é a temperatura da parede (constante).
    Integrando essa EDO com condição T_b(0)=T_{\mathrm{in}} obtemos a solução conhecida
    T_b(x)=T_s-(T_s-T_{\mathrm{in}})\exp\!\Big(-\frac{h P x}{\dot{m} c_p}\Big).
    Em particular, para x=L (saída):
    T_{\mathrm{out}} = T_s-(T_s-T_{\mathrm{in}})\exp(-\mathrm{NTU}),
    onde definimos o número de transferência \mathrm{NTU} como
    \mathrm{NTU}=\frac{h P L}{\dot{m} c_p}.
    A taxa de calor total é simplesmente o balanço energético:
    \dot{Q}=\dot{m}\,c_p\,(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}}).
  2. Como obter h: precisamos de uma correlação convectiva interna. Primeiro calculamos o regime (Reynolds):
    \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
    onde V é a velocidade média do fluido V=\dot{m}/(\rho A) e A=\pi D^2/4. O número de Prandtl é
    \mathrm{Pr}=\frac{c_p\mu}{k}.
    • Se o escoamento for laminar e termicamente desenvolvido numa tubulação circular com parede a temperatura constante, o número de Nusselt adimensional é aproximadamente constante:
    \mathrm{Nu}=3{,}66.
    • Então h=\mathrm{Nu}\,k/D.
  3. Como as propriedades físicas do óleo dependem de temperatura, usaremos um processo iterativo:
    • chute inicial para T_{\mathrm{out}} (dica: pelo menos 10^\circ\mathrm{C} abaixo de T_s),
    • com esse chute calcular temperatura média do fluido e temperatura de filme para escolher as propriedades \rho, \mu, c_p, k,
    • calcular h, \mathrm{NTU}, obter novo T_{\mathrm{out}} pela fórmula acima,
    • repetir até convergência.
Vou aplicar esse método passo a passo, explicando cada fórmula utilizada.

Passo 3

Dados geométricos e velocidade média (contas diretas, explicando cada quantidade):
  • Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0,025)^2}{4} \;\mathrm{m^2}.
Calculemos numericamente:
A=\pi\cdot 0,000625/4=\pi\cdot 0,00015625=0,0004909\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado:
P=\pi D=\pi\cdot 0,025=0,07854\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média do fluido:
V=\frac{\dot{m}}{\rho A}.
Atenção: \rho depende de temperatura; na primeira iteração vamos assumir um valor típico (ver passo seguinte). Vou explicar a escolha de propriedades no próximo passo.

Passo 4

Escolha inicial de propriedades e primeiro chute para iniciar a iteração (explicando a escolha):
Pelo enunciado, faço um chute inicial para T_{\mathrm{out}}^{(0)}=140^\circ\mathrm{C} (que é 10^\circ\mathrm{C} abaixo de T_s, seguindo a dica). A partir desse chute determinamos uma temperatura de filme para escolher propriedades “típicas” do óleo.
  • Temperatura média do fluido (bulk average) aproximada com o chute:
T_{\mathrm{bulk,avg}}^{(0)}=\frac{T_{\mathrm{in}}+T_{\mathrm{out}}^{(0)}}{2}=\frac{30+140}{2}=85^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de filme (média entre parede e bulk médio):
T_{\mathrm{film}}^{(0)}=\frac{T_s+T_{\mathrm{bulk,avg}}^{(0)}}{2}=\frac{150+85}{2}=117{,}5^\circ\mathrm{C}.
Agora escolho propriedades típicas de óleo lubrificante à temperatura de filme T_{\mathrm{film}}\approx 118^\circ\mathrm{C}. Para problemas desse tipo em provas costuma-se assumir valores médios plausíveis; escolho:
  • Densidade: \rho=870\\ \mathrm{kg/m^3} (ordem de grandeza típica para óleo de motor aquecido).
  • Calor específico: c_p=2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Condutividade térmica: k=0{,}13\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=0{,}015\\ \mathrm{Pa\cdot s} (15 mPa·s — valor razoável para óleo aquecido).
(Obs.: escolhi valores típicos; se tivesse tabela do óleo eu usaria exatamente dela. Para o objetivo da prova e do método iterativo, esses valores são aceitáveis.)
Com \rho posso calcular a velocidade média:
V=\frac{\dot{m}}{\rho A}=\frac{0,5}{870\cdot 0,0004909}=1{,}173\\ \mathrm{m/s}.
Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{870\cdot 1{,}173\cdot 0,025}{0{,}015}=1701\\ \text{(aprox.)}.
Comentário didático: \mathrm{Re} indica o regime do escoamento. Como \mathrm{Re}<2300, o escoamento é laminar. Para laminar em tubo circular e comprimento tão grande como aqui (veja L/D abaixo), podemos usar a solução para fluxo totalmente desenvolvido.
Verificação do desenvolvimento térmico/hidrodinâmico:
\frac{L}{D}=\frac{20}{0,025}=800\gg 1,
portanto o escoamento tem comprimento suficiente para que as condições termodinâmicas e hidrodinâmicas se desenvolvam — justifica usar o valor de Nusselt para regime desenvolvido.
Para escoamento laminar totalmente desenvolvido com parede a temperatura constante vale (resultado clássico):
\mathrm{Nu}=3{,}66.
Então:
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}=\frac{3{,}66\cdot 0{,}13}{0,025}=19{,}03\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 5

Calcular \mathrm{NTU}, obter T_{\mathrm{out}} e \dot{Q} (primeira iteração numérica):
  • Multiplicador no expoente (NTU):
\mathrm{NTU}=\frac{h P L}{\dot{m} c_p}=\frac{19{,}03\cdot 0,07854\cdot 20}{0{,}5\cdot 2000}.
Calcule:
h P L=19{,}03\cdot 0,07854\cdot 20=29{,}8879\\ \mathrm{W/K},
e
\dot{m} c_p=0{,}5\cdot 2000=1000\\ \mathrm{W/K}.
Logo
\mathrm{NTU}=0{,}0298879.
  • Temperatura de saída:
T_{\mathrm{out}}=T_s-(T_s-T_{\mathrm{in}})\exp(-\mathrm{NTU})
T_{\mathrm{out}}=150-(150-30)\exp(-0{,}0298879).
Calcule:
\exp(-0{,}0298879)=0{,}97056\quad\Rightarrow\quad T_{\mathrm{out}}=150-120\cdot 0{,}97056=33{,}533^\circ\mathrm{C}.
  • Taxa de transferência de calor:
\dot{Q}=\dot{m}\,c_p\,(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}})=0{,}5\cdot 2000\cdot(33{,}533-30)=1000\cdot 3{,}533=3533{,}2\\ \mathrm{W}.
Comentário: o chute inicial 140^\circ\mathrm{C} levou a um T_{\mathrm{out}} muito menor ( \sim 33{,}5^\circ\mathrm{C}). Isso mostra que o aquecimento do óleo é fraco devido ao pequeno coeficiente convectivo (líquido viscoso, fluxo laminar) e à grande resistência na interface fluido-parede.

Passo 6

Verificação e iteração rápida (garantir consistência das propriedades com a temperatura obtida):
  • Com o resultado T_{\mathrm{out}}=33{,}533^\circ\mathrm{C}, a média bulk aproximada é
T_{\mathrm{bulk,avg}}=\frac{T_{\mathrm{in}}+T_{\mathrm{out}}}{2}=\frac{30+33{,}533}{2}=31{,}7665^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de filme real:
T_{\mathrm{film}}=\frac{T_s+T_{\mathrm{bulk,avg}}}{2}=\frac{150+31{,}7665}{2}=90{,}883^\circ\mathrm{C}.
Agora, se eu reavaliar as propriedades do óleo a T_{\mathrm{film}}\approx 91^\circ\mathrm{C}, os valores típicos seriam um pouco diferentes (p.ex. \mu um pouco maior que no caso de 118ºC), mas não muda a ordem de grandeza: \rho\sim 880\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p\sim 2000\\ \mathrm{J/(kgK)}, k\sim 0{,}13\\ \mathrm{W/(mK)}, \mu\sim 0{,}02\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Se recalculássemos com \mu=0{,}02\\ \mathrm{Pa\cdot s} teríamos \mathrm{Re} ainda laminar e \mathrm{Nu}=3{,}66 (mesmo h porque k e D não mudam muito), então o resultado numérico para T_{\mathrm{out}} muda pouquíssimo (a NTU permanece ~0,03). Portanto a solução já está essencialmente convergida: o óleo aquece muito pouco ao atravessar o tubo nas condições dadas.

Passo 7

Interpretação final (breve e motivacional): o fluxo é laminar e o coeficiente convectivo é baixo; por isso mesmo com a parede a 150^\circ\mathrm{C} o fluido somente se aquece alguns graus ao atravessar 20 m do tubo. O método usado é robusto e, em prova, vale explicar que se teve que assumir propriedades médias e mostrar que a escolha não altera qualitativamente a resposta porque o número adimensional \mathrm{NTU} é pequeno.

Resposta

T_{\mathrm{m,sai}}=33{,}53\\ ^\circ\mathrm{C}
\dot{Q}=3{,}533\times 10^{3}\\ \mathrm{W}

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