Um tanque esférico de 50 cm de diâmetro interno está cheio com água gelada (com gelo) a \mathrm{O}^{\circ} \mathrm{C}. O reservatório é de casca fina onde \mathrm{r}_{1}=25 \mathrm{~cm} e \mathrm{r}_{2}=26 \mathrm{~cm}, o coeficiente de condução do tanque é 150 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right. ) a temperatura da superfície interna do tanque pode ser considerada como sendo a mesma temperatura do gelo. O reservatório é exposto ao ar ambiente a 20^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor de 12 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}\right) . \mathrm{O} reservatório deve ser coberto com isolante de lã de vidro, o coeficiente condutivo do isolante é 0,05 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e o diâmetro total é 53 cm (tanque + camada isolante), determine:
  • O fluxo de calor e
  • A espessura nova necessária da camada de isolamento para diminuir em 80% o calor ganho pela água gelada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei diretamente do enunciado):
  • Diâmetro interno do tanque: 50\\ \mathrm{cm} \Rightarrow raio interno r_{1}=0,25\\ \mathrm{m}.
  • Raio externo do tanque (casca metálica): r_{2}=0,26\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do metal do tanque: k_{\text{metal}}=150\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
  • A superfície interna do tanque está à temperatura do gelo: T_{\text{int}}=0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção entre a superfície externa do isolante e o ar: h=12\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
  • O isolante (lã de vidro) tem condutividade k_{\text{ins}}=0,05\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)}.
  • Diâmetro total atual (tanque + isolante): 53\\ \mathrm{cm} \Rightarrow raio externo atual r_{3}=0,265\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
  1. Determinar o fluxo de calor (potência térmica) que entra no tanque na situação atual.
  2. Determinar a nova espessura da camada de isolamento necessária para diminuir em 80\% o calor ganho pela água gelada (isto é, reduzir o fluxo para 20\% do atual).

Passo 2

Modelo térmico e fórmulas que vou usar (aula rápida e intuitiva).
  • O calor entra do ar ( T_{\infty}) e passa, radialmente, por três resistências em série:
    1. Condução através da parede esférica de metal entre r_{1} e r_{2}.
    2. Condução através da camada esférica de isolante entre r_{2} e r_{3}.
    3. Convecção da superfície externa (raio r_{3}) para o ar.
  • Resistência de condução através de uma casca esférica entre raios r_a e r_b ( r_a<r_b) é:
R_{\text{cond, esfera}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right),
onde k é a condutividade do material e os r em metros. Explicação: para geometria esférica a área varia com r^2, e essa fórmula resulta da integração da lei de Fourier na forma radial.
  • Resistência de convecção na superfície externa (raio r_3) é:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A_{\text{ext}}}=\frac{1}{h\cdot 4\pi r_3^{2}},
onde h é o coeficiente convectivo e A_{\text{ext}}=4\pi r_3^{2} é a área da esfera externa.
  • Potência térmica (fluxo de calor) em regime estacionário é dada por:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}
com \Delta T=T_{\infty}-T_{\text{int}}=20^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}=20^\circ\mathrm{C} e
R_{\text{total}}=R_{\text{metal}}+R_{\text{ins}}+R_{\text{conv}}.

Passo 3

Calcular a resistência de condução da casca metálica entre r_{1}=0,25\\ \mathrm{m} e r_{2}=0,26\\ \mathrm{m}.
Fórmula:
R_{\text{metal}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{metal}}}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Substituindo:
R_{\text{metal}}=\frac{1}{4\pi\cdot 150}\left(\frac{1}{0,25}-\frac{1}{0,26}\right).
Cálculo numérico passo a passo:
\frac{1}{0,25}=4,\quad \frac{1}{0,26}\approx 3{,}846153846.
Diferença: 4-3{,}846153846=0{,}1538461538.
Constante: 4\pi\cdot150\approx 1884{,}955592.
Logo
R_{\text{metal}}\approx\frac{0{,}1538461538}{1884{,}955592}\approx 8{,}16\times 10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.
Comentário didático: essa resistência é muito pequena porque o metal tem alta condutividade e a espessura é pequena; portanto quase não limita o fluxo térmico.

Passo 4

Calcular a resistência de condução através da camada de isolante entre r_{2}=0,26\\ \mathrm{m} e r_{3}=0,265\\ \mathrm{m}.
Fórmula:
R_{\text{ins}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{ins}}}\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{3}}\right).
Substituindo:
R_{\text{ins}}=\frac{1}{4\pi\cdot 0{,}05}\left(\frac{1}{0,26}-\frac{1}{0,265}\right).
Cálculo:
\frac{1}{0,26}\approx 3{,}846153846,\quad \frac{1}{0,265}\approx 3{,}773584906,
diferença =0{,}0725689405.
Constante: 4\pi\cdot 0{,}05\approx 0{,}628318531.
Logo
R_{\text{ins}}\approx\frac{0{,}0725689405}{0{,}628318531}\approx 0{,}11556\\ \mathrm{K/W}.
Comentário: como o isolante tem baixa condutividade, mesmo uma pequena espessura dá resistência relevante.

Passo 5

Calcular a resistência convectiva na superfície externa (raio r_{3}=0,265\\ \mathrm{m}).
Fórmula:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot 4\pi r_{3}^{2}}.
Substituindo:
r_{3}^{2}=0{,}265^{2}=0{,}070225,\quad 4\pi r_{3}^{2}\approx 12{,}5663706\times 0{,}070225\approx 0{,}88249\\ \mathrm{m^{2}}.
h\cdot 4\pi r_{3}^{2}\approx 12\cdot 0{,}88249\approx 10{,}5899\\ \mathrm{W/K}.
Logo
R_{\text{conv}}\approx \frac{1}{10{,}5899}\approx 0{,}09439\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Somar as resistências e calcular o fluxo de calor atual \dot{Q}.
Somando:
R_{\text{total}}=R_{\text{metal}}+R_{\text{ins}}+R_{\text{conv}} \approx 8{,}16\times 10^{-5}+0{,}11556+0{,}09439\approx 0{,}21004\\ \mathrm{K/W}.
Fluxo:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{20}{0{,}21004}\approx 95{,}23\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o tanque ganho aproximadamente 95{,}2\\ \mathrm{W} do ambiente na situação atual.

Passo 7

Objetivo da segunda parte: reduzir o calor em 80\%. Então a nova potência alvo é
\dot{Q}_{\text{novo}}=0{,}2\cdot \dot{Q}=0{,}2\cdot 95{,}233\approx 19{,}0466\\ \mathrm{W}.
Para obter esse \dot{Q}_{\text{novo}}, é preciso aumentar a resistência total para
R_{\text{total,novo}}=\frac{\Delta T}{\dot{Q}_{\text{novo}}}=\frac{20}{19{,}0466}\approx 1{,}05018\\ \mathrm{K/W}.
A resistência do metal não muda ( R_{\text{metal}} já calculada). Assim a soma R_{\text{ins,novo}}+R_{\text{conv,novo}} deve ser
S=R_{\text{total,novo}}-R_{\text{metal}}\approx 1{,}05018-8{,}16\times 10^{-5}\approx 1{,}05010\\ \mathrm{K/W}.

Passo 8

Montar a equação para encontrar o novo raio externo r_{3,\text{novo}} (da camada isolante) que satisfaça R_{\text{ins,novo}}+R_{\text{conv,novo}}=S.
Escrevendo:
\frac{1}{4\pi k_{\text{ins}}}\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{3}}\right)+\frac{1}{h\cdot 4\pi r_{3}^{2}}=S.
Multiplico ambos os lados por 4\pi para simplificar:
\frac{1}{k_{\text{ins}}}\left(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{3}}\right)+\frac{1}{h r_{3}^{2}}=4\pi S.
Substituo os valores numéricos conhecidos:
\frac{1}{k_{\text{ins}}}=20,\quad \frac{1}{r_{2}}\approx 3{,}846153846,\quad h=12,\quad 4\pi S\approx 13{,}19716.
Fica:
20\left(3{,}846153846-\frac{1}{r_{3}}\right)+\frac{1}{12 r_{3}^{2}}=13{,}19716.
Reorganizando os termos e multiplicando por r_{3}^{2} para obter uma equação polinomial:
63{,}72591392\, r_{3}^{2}-20 r_{3}+\frac{1}{12}=0.
Isto é uma quadrática na forma a r_{3}^{2}+b r_{3}+c=0 com
a=63{,}72591392,\quad b=-20,\quad c=\frac{1}{12}\approx 0{,}08333333.

Passo 9

Resolver a quadrática para r_{3} e escolher a raiz fisicamente aceitável ( r_{3}>r_{2}=0{,}26\\ \mathrm{m}).
Fórmula da raiz:
r_{3}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Cálculo do discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=400-4\cdot 63{,}72591392\cdot 0{,}08333333\approx 378{,}75803.
\sqrt{\Delta}\approx 19{,}46331.
Portanto as duas raízes são
r_{3}^{(1)}=\frac{20-19{,}46331}{2\cdot 63{,}72591392}\approx 0{,}00421\\ \mathrm{m}\quad(\text{não física, menor que }r_{2}),ãí
r_{3}^{(2)}=\frac{20+19{,}46331}{2\cdot 63{,}72591392}\approx 0{,}30957\\ \mathrm{m}.
Escolhe-se r_{3,\text{novo}}=0{,}30957\\ \mathrm{m} (a solução física).
Espessura total da camada isolante nova (da superfície externa do tanque r_{2}=0{,}26\\ \mathrm{m} até r_{3,\text{novo}}):
\delta_{\text{ins,novo}}=r_{3,\text{novo}}-r_{2}=0{,}30957-0{,}26=0{,}04957\\ \mathrm{m}\approx 4{,}96\\ \mathrm{cm}.
Para referência, a espessura atual do isolante era 0{,}005\\ \mathrm{m} ( 0{,}5\\ \mathrm{cm}), então é preciso aumentar a isolação em cerca de
\Delta \delta \approx 0{,}04957-0{,}005=0{,}04457\\ \mathrm{m}\approx 4{,}46\\ \mathrm{cm}.
(Facultativo para conferência) Área externa nova A_{\text{novo}}=4\pi r_{3,\text{novo}}^{2} e resistências podem ser recalculadas para verificar que \dot{Q}_{\text{novo}}\approx 19{,}05\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Resumo final rápido e encorajador: o fluxo atual é da ordem de algumas dezenas de watts (aprox. 95\\ \mathrm{W}), e para cortar 80% do ganho térmico é preciso aumentar a camada de lã de vidro para cerca de 5\\ \mathrm{cm} de espessura total (aprox. 4{,}96\\ \mathrm{cm}), o que é razoável na prática.

Resposta

Fluxo de calor atual: 95{,}23\\ \mathrm{W}
Nova espessura total da camada de isolamento necessária: 0{,}04957\\ \mathrm{m} \approx 4{,}96\\ \mathrm{cm} (aumento sobre a isolação atual de 0{,}5\\ \mathrm{cm}: \approx 4{,}46\\ \mathrm{cm}).

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