Um tanque esférico de 50 cm de diâmetro interno está cheio com água gelada (com gelo) a
. O reservatório é de casca fina onde
e
, o coeficiente de condução do tanque é
) a temperatura da superfície interna do tanque pode ser considerada como sendo a mesma temperatura do gelo. O reservatório é exposto ao ar ambiente a
com um coeficiente de transferência de calor de
reservatório deve ser coberto com isolante de lã de vidro, o coeficiente condutivo do isolante é
e o diâmetro total é 53 cm (tanque + camada isolante), determine:
- O fluxo de calor e
- A espessura nova necessária da camada de isolamento para diminuir em 80% o calor ganho pela água gelada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei diretamente do enunciado):
- Diâmetro interno do tanque:
raio interno . - Raio externo do tanque (casca metálica):
. - Condutividade térmica do metal do tanque:
. - A superfície interna do tanque está à temperatura do gelo:
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção entre a superfície externa do isolante e o ar:
. - O isolante (lã de vidro) tem condutividade
. - Diâmetro total atual (tanque + isolante):
raio externo atual .
O enunciado pede:
- Determinar o fluxo de calor (potência térmica) que entra no tanque na situação atual.
- Determinar a nova espessura da camada de isolamento necessária para diminuir em
o calor ganho pela água gelada (isto é, reduzir o fluxo para do atual).
Passo 2
Modelo térmico e fórmulas que vou usar (aula rápida e intuitiva).
-
O calor entra do ar (
) e passa, radialmente, por três resistências em série: - Condução através da parede esférica de metal entre
e . - Condução através da camada esférica de isolante entre
e . - Convecção da superfície externa (raio
) para o ar.
- Condução através da parede esférica de metal entre
-
Resistência de condução através de uma casca esférica entre raios
e ( ) é:
onde
é a condutividade do material e os
em metros. Explicação: para geometria esférica a área varia com
, e essa fórmula resulta da integração da lei de Fourier na forma radial.
- Resistência de convecção na superfície externa (raio
) é:
onde
é o coeficiente convectivo e
é a área da esfera externa.
- Potência térmica (fluxo de calor) em regime estacionário é dada por:
com
e
Passo 3
Calcular a resistência de condução da casca metálica entre
e
.
Fórmula:
Substituindo:
Cálculo numérico passo a passo:
Diferença:
.
Constante:
.
Logo
Comentário didático: essa resistência é muito pequena porque o metal tem alta condutividade e a espessura é pequena; portanto quase não limita o fluxo térmico.
Passo 4
Calcular a resistência de condução através da camada de isolante entre
e
.
Fórmula:
Substituindo:
Cálculo:
diferença
.
Constante:
.
Logo
Comentário: como o isolante tem baixa condutividade, mesmo uma pequena espessura dá resistência relevante.
Passo 5
Calcular a resistência convectiva na superfície externa (raio
).
Fórmula:
Substituindo:
Logo
Passo 6
Somar as resistências e calcular o fluxo de calor atual
.
Somando:
Fluxo:
Interpretação: o tanque ganho aproximadamente
do ambiente na situação atual.
Passo 7
Objetivo da segunda parte: reduzir o calor em
. Então a nova potência alvo é
Para obter esse
, é preciso aumentar a resistência total para
A resistência do metal não muda (
já calculada). Assim a soma
deve ser
Passo 8
Montar a equação para encontrar o novo raio externo
(da camada isolante) que satisfaça
.
Escrevendo:
Multiplico ambos os lados por
para simplificar:
Substituo os valores numéricos conhecidos:
Fica:
Reorganizando os termos e multiplicando por
para obter uma equação polinomial:
Isto é uma quadrática na forma
com
Passo 9
Resolver a quadrática para
e escolher a raiz fisicamente aceitável (
).
Fórmula da raiz:
Cálculo do discriminante:
Portanto as duas raízes são
Escolhe-se
(a solução física).
Espessura total da camada isolante nova (da superfície externa do tanque
até
):
Para referência, a espessura atual do isolante era
(
), então é preciso aumentar a isolação em cerca de
(Facultativo para conferência) Área externa nova
e resistências podem ser recalculadas para verificar que
.
Passo 10
Resumo final rápido e encorajador: o fluxo atual é da ordem de algumas dezenas de watts (aprox.
), e para cortar 80% do ganho térmico é preciso aumentar a camada de lã de vidro para cerca de
de espessura total (aprox.
), o que é razoável na prática.
Resposta
Fluxo de calor atual:
Nova espessura total da camada de isolamento necessária:
(aumento sobre a isolação atual de
:
).
Nova espessura total da camada de isolamento necessária: