Questão 02
Uma partícula de massa
, sujeita a pequenas oscilações em duas dimensões, possui energia potencial dada por,
onde
e
são constantes positivas.
Considerando a massa
da partícula, obtenha as equações de movimento utilizando os seguintes formalismos:
- Formalismo Newtoniano: A partir das forças derivadas da energia potencial, obtenha as equações diferenciais do movimento nos eixos
e
.
2. Formalismo Lagrangeano:
- Escreva a energia cinética da partícula.
- Determine a Lagrangiana
.
- Aplique as equações de Euler-Lagrange para obter o sistema de equações do movimento.
3. Formalismo Hamiltoniano:
- Determine os momentos generalizados
e
.
- Construa o Hamiltoniano
.
- Obtenha as equações de Hamilton para o sistema.
Considerando a massa
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
sujeita a pequenas oscilações em duas dimensões com energia potencial
onde
e
. Vamos obter as equações de movimento pelos formalismos:
- Newtoniano (forças).
- Lagrangeano (energia cinética, Lagrangiana e Euler–Lagrange).
- Hamiltoniano (momentos generalizados, Hamiltoniano e equações de Hamilton).
Passo 2
Pelo formalismo newtoniano calculamos as componentes da força como
Como
temos
Então as equações de movimento são
Passo 3
No formalismo lagrangeano a energia cinética é
A Lagrangiana é
Passo 4
Aplicando Euler–Lagrange para
:
Como
e
, obtemos
Analogamente para
:
Passo 5
No formalismo hamiltoniano definimos os momentos generalizados
O Hamiltoniano é
Passo 6
As equações de Hamilton são
Resposta
Pelos três formalismos obtemos o mesmo sistema:
Newton/Lagrange:
Newton/Lagrange:
Hamilton:
com
e
.