Questão 02

Uma partícula de massa m, sujeita a pequenas oscilações em duas dimensões, possui energia potencial dada por,
U(x, y)=\frac{1}{2} k\left(x^{2}+y^{2}\right)-\alpha x y
onde k e \alpha são constantes positivas.
Considerando a massa m da partícula, obtenha as equações de movimento utilizando os seguintes formalismos:
  1. Formalismo Newtoniano: A partir das forças derivadas da energia potencial, obtenha as equações diferenciais do movimento nos eixos x e y.

2. Formalismo Lagrangeano:

  • Escreva a energia cinética da partícula.
  • Determine a Lagrangiana L=T-U.
  • Aplique as equações de Euler-Lagrange para obter o sistema de equações do movimento.

3. Formalismo Hamiltoniano:

  • Determine os momentos generalizados p_{x} e p_{y}.
  • Construa o Hamiltoniano H\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right).
  • Obtenha as equações de Hamilton para o sistema.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m sujeita a pequenas oscilações em duas dimensões com energia potencial
U(x,y)=\tfrac12k\bigl(x^2+y^2\bigr)-\alpha\,x\,y,
onde k>0 e \alpha>0. Vamos obter as equações de movimento pelos formalismos:
  1. Newtoniano (forças).
  2. Lagrangeano (energia cinética, Lagrangiana e Euler–Lagrange).
  3. Hamiltoniano (momentos generalizados, Hamiltoniano e equações de Hamilton).

Passo 2

Pelo formalismo newtoniano calculamos as componentes da força como
F_x=-\frac{\partial U}{\partial x} \quad\text{e}\quad F_y=-\frac{\partial U}{\partial y}.
Como
\frac{\partial U}{\partial x}=k\,x-\alpha\,y, \quad \frac{\partial U}{\partial y}=k\,y-\alpha\,x,
temos
F_x=-k\,x+\alpha\,y, \quad F_y=-k\,y+\alpha\,x.
Então as equações de movimento são
m\,\ddot x=-k\,x+\alpha\,y, \qquad m\,\ddot y=-k\,y+\alpha\,x.

Passo 3

No formalismo lagrangeano a energia cinética é
T=\tfrac12\,m\bigl(\dot x^2+\dot y^2\bigr).
A Lagrangiana é
L=T-U =\tfrac12\,m\bigl(\dot x^2+\dot y^2\bigr) -\bigl[\tfrac12\,k\bigl(x^2+y^2\bigr)-\alpha\,x\,y\bigr].

Passo 4

Aplicando Euler–Lagrange para x:
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot x}\Bigr) -\frac{\partial L}{\partial x}=0.
Como \partial L/\partial\dot x=m\,\dot x e \partial L/\partial x=-k\,x+\alpha\,y, obtemos
m\,\ddot x-(-k\,x+\alpha\,y)=0 \;\Longrightarrow\; m\,\ddot x=-k\,x+\alpha\,y.
Analogamente para y:
m\,\ddot y=-k\,y+\alpha\,x.

Passo 5

No formalismo hamiltoniano definimos os momentos generalizados
p_x=\frac{\partial L}{\partial\dot x}=m\,\dot x, \quad p_y=\frac{\partial L}{\partial\dot y}=m\,\dot y.
O Hamiltoniano é
H=\sum_i p_i\dot q_i -L =\frac{p_x^2}{2m}+\frac{p_y^2}{2m} +\tfrac12\,k\bigl(x^2+y^2\bigr)-\alpha\,x\,y.

Passo 6

As equações de Hamilton são
\dot x=\frac{\partial H}{\partial p_x}=\frac{p_x}{m}, \quad \dot y=\frac{\partial H}{\partial p_y}=\frac{p_y}{m},
\dot p_x=-\frac{\partial H}{\partial x}=-k\,x+\alpha\,y, \quad \dot p_y=-\frac{\partial H}{\partial y}=-k\,y+\alpha\,x.

Resposta

Pelos três formalismos obtemos o mesmo sistema:
Newton/Lagrange:
m\,\ddot x=-k\,x+\alpha\,y,\qquad m\,\ddot y=-k\,y+\alpha\,x.
Hamilton:
\dot x=\frac{p_x}{m},\; \dot y=\frac{p_y}{m},\; \dot p_x=-k\,x+\alpha\,y,\; \dot p_y=-k\,y+\alpha\,x,
com p_x=m\dot x e p_y=m\dot y.

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