Questão 02. (1,0 ponto). Explique por que todas as Linhas de Operação possuem um dos pontos sobre a reta
, na aplicação do método McC abe-Thiele.
Passo 1
O enunciado pede uma explicação de por que, na aplicação do método McCabe–Thiele, cada Linha de Operação (tanto a da seção de retificação quanto a da seção de rasgo) tem um dos seus pontos sobre a reta
. Informações e hipóteses relevantes que vamos usar:
- Na planta de destilação estamos usando as notações usuais:
é a fração molar do componente mais volátil na fase líquida e é a fração molar do mesmo componente na fase vapor. -
é a vazão do destilado (topo) com composição . -
é a vazão do fundo (bottoms) com composição . -
é a vazão de refluxo líquido na seção de retificação (ou, em notação de algumas fontes, ). -
é a vazão de vapor ascendente (assumimos regime estacionário e overflow molar constante entre pratos adjacentes). - O objetivo é mostrar algebraica e conceitualmente por que as linhas de operação intersectam a reta diagonal
exatamente nos pontos (linha de retificação) e (linha de rasgo).
Passo 2
Explicação clara do que é uma Linha de Operação e da hipótese de overflow constante (para não pular conceitos).
- A Linha de Operação relaciona a composição do vapor que sai de um prato (coordenada
) com a composição do líquido que sai do prato seguinte abaixo (coordenada ). No diagrama versus ela aparece como uma reta porque, sob a hipótese de overflow molar constante, as vazões e são constantes dentro de cada seção, tornando a relação linear. - A hipótese de overflow constante significa, fisicamente, que as entalpias molares das correntes líquida e vapor não variam muito entre pratos adjacentes e que não há correntes laterais além de refluxo, destilado e fundo; matematicamente, leva a
constante e constante em cada seção, o que torna a equação de balanço linear.
Passo 3
Derivação da Linha de Operação da seção de retificação (parte superior). Vamos fazer o balanço de componente entre dois pontos apropriados e obter a equação da reta.
- Considere um balanço de componente para a seção superior incluindo o destilado. Para um balanço entre o vapor que sai de um prato e o líquido que chega ao prato acima, em regime estacionário temos a equação (balanço de componente):
Aqui:
-
é a quantidade de mols do componente volátil transportada pelo vapor que sai do prato (por unidade de tempo). -
é a quantidade transportada pelo líquido que desce. -
é a contribuição do destilado retirada no topo (termo de saída do sistema considerado). - Dividindo toda a equação por
(assumindo ) obtemos:
- Observação: como
(balanço total de matéria na região do topo), tem-se . A forma acima é uma equação de reta em versus .
Passo 4
Demonstrar por que essa reta passa por
.
- Substitua
na equação obtida:
- Como
, o fator . Logo
- Conclusão: quando
a equação dá . Isso mostra que o ponto pertence à Linha de Operação da seção de retificação — ou seja, a reta cruza a diagonal exatamente em .
Passo 5
Derivação da Linha de Operação da seção de rasgo (parte inferior) e análogo raciocínio.
- Faça agora o balanço de componente apropriado para a seção inferior, envolvendo o fundo. Um balanço entre vapor que sobe e líquido que desce na seção de rasgo pode ser escrito como
Aqui
aparece porque a corrente de fundo retira componente volátil do segmento considerado (sinal negativo dependendo do controle escolhido); rearranjando obtém-se a forma usual. Outra forma equivalente (mais direta) é escrever o balanço entre dois pratos de modo que, dividindo por
, chegue-se à reta:
E usa-se novamente
ou
conforme o sinalamento adotado; a relação entre vazões garante coesão.
- Substituindo
na expressão:
- Usando a identidade de balanço de vazões apropriada (por exemplo
), obtém-se . Assim
- Conclusão: a Linha de Operação da seção de rasgo passa pelo ponto
, que também pertence à reta diagonal .
Passo 6
Interpretação física e geométrica curta (para fixar a intuição).
- Geometricamente: a diagonal
é a linha onde líquido e vapor têm a mesma composição. O fato de a Linha de Operação passar por significa que, se por acaso a composição do líquido em um estágio fosse igual à composição do destilado , o vapor correspondente teria a mesma composição — isso decorre diretamente do balanço que inclui a corrente de destilado. - Fisicamente: no topo e no fundo a presença das correntes externas
e fixa pontos da reta de balanço que coincidem com as composições do produto. Esses pontos caem na diagonal porque, avaliando o balanço com a composição igual à do produto, as contribuições da corrente do produto fazem com que a composição do vapor associado seja exatamente igual à composição do produto.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para reforçar) — sem complicar contas.
- Suponha
, e . Então . A Linha de Operação da retificação é
Se
então
confirmando que
está sobre a reta. Mesmo raciocínio vale para a seção inferior com números de exemplo análogos.
Resposta
Porque, ao escrever o balanço de componente que dá a equação linear da Linha de Operação (rectificação:
; rasgo:
) e substituir
(ou
), obtém‑se
(ou
). Logo a Linha de Operação da retificação contém
e a da rasgo contém
, pontos esses que ficam sobre a reta diagonal
.