Questão 02. (1,0 ponto). Explique por que todas as Linhas de Operação possuem um dos pontos sobre a reta \mathrm{x}=\mathrm{y}, na aplicação do método McC abe-Thiele.

Passo 1

O enunciado pede uma explicação de por que, na aplicação do método McCabe–Thiele, cada Linha de Operação (tanto a da seção de retificação quanto a da seção de rasgo) tem um dos seus pontos sobre a reta x=y. Informações e hipóteses relevantes que vamos usar:
  • Na planta de destilação estamos usando as notações usuais: x é a fração molar do componente mais volátil na fase líquida e y é a fração molar do mesmo componente na fase vapor.
  • D é a vazão do destilado (topo) com composição x_D.
  • B é a vazão do fundo (bottoms) com composição x_B.
  • L é a vazão de refluxo líquido na seção de retificação (ou, em notação de algumas fontes, L_R).
  • V é a vazão de vapor ascendente (assumimos regime estacionário e overflow molar constante entre pratos adjacentes).
  • O objetivo é mostrar algebraica e conceitualmente por que as linhas de operação intersectam a reta diagonal x=y exatamente nos pontos (x_D,x_D) (linha de retificação) e (x_B,x_B) (linha de rasgo).

Passo 2

Explicação clara do que é uma Linha de Operação e da hipótese de overflow constante (para não pular conceitos).
  • A Linha de Operação relaciona a composição do vapor que sai de um prato (coordenada y) com a composição do líquido que sai do prato seguinte abaixo (coordenada x). No diagrama y versus x ela aparece como uma reta porque, sob a hipótese de overflow molar constante, as vazões L e V são constantes dentro de cada seção, tornando a relação linear.
  • A hipótese de overflow constante significa, fisicamente, que as entalpias molares das correntes líquida e vapor não variam muito entre pratos adjacentes e que não há correntes laterais além de refluxo, destilado e fundo; matematicamente, leva a V constante e L constante em cada seção, o que torna a equação de balanço linear.

Passo 3

Derivação da Linha de Operação da seção de retificação (parte superior). Vamos fazer o balanço de componente entre dois pontos apropriados e obter a equação da reta.
  • Considere um balanço de componente para a seção superior incluindo o destilado. Para um balanço entre o vapor que sai de um prato e o líquido que chega ao prato acima, em regime estacionário temos a equação (balanço de componente):
V\,y = L\,x + D\,x_D.
Aqui:
  • V\,y é a quantidade de mols do componente volátil transportada pelo vapor que sai do prato (por unidade de tempo).
  • L\,x é a quantidade transportada pelo líquido que desce.
  • D\,x_D é a contribuição do destilado retirada no topo (termo de saída do sistema considerado).
  • Dividindo toda a equação por V (assumindo V\neq0) obtemos:
y = \frac{L}{V}\,x + \frac{D}{V}\,x_D.
  • Observação: como V=L+D (balanço total de matéria na região do topo), tem-se \dfrac{D}{V} = 1 - \dfrac{L}{V}. A forma acima é uma equação de reta em y versus x.

Passo 4

Demonstrar por que essa reta passa por (x_D,x_D).
  • Substitua x=x_D na equação obtida:
y = \frac{L}{V}\,x_D + \frac{D}{V}\,x_D = \left(\frac{L}{V}+\frac{D}{V}\right) x_D = \frac{L+D}{V}\,x_D.
  • Como V=L+D, o fator \dfrac{L+D}{V}=1. Logo
y = x_D.
  • Conclusão: quando x=x_D a equação dá y=x_D. Isso mostra que o ponto (x_D,x_D) pertence à Linha de Operação da seção de retificação — ou seja, a reta cruza a diagonal x=y exatamente em x=x_D.

Passo 5

Derivação da Linha de Operação da seção de rasgo (parte inferior) e análogo raciocínio.
  • Faça agora o balanço de componente apropriado para a seção inferior, envolvendo o fundo. Um balanço entre vapor que sobe e líquido que desce na seção de rasgo pode ser escrito como
V\,y = L\,x - B\,x_B.
Aqui B\,x_B aparece porque a corrente de fundo retira componente volátil do segmento considerado (sinal negativo dependendo do controle escolhido); rearranjando obtém-se a forma usual. Outra forma equivalente (mais direta) é escrever o balanço entre dois pratos de modo que, dividindo por V, chegue-se à reta:
y = \frac{L}{V}\,x - \frac{B}{V}\,x_B.
E usa-se novamente V=L-B ou V+ B=L conforme o sinalamento adotado; a relação entre vazões garante coesão.
  • Substituindo x=x_B na expressão:
y = \frac{L}{V}\,x_B - \frac{B}{V}\,x_B = \left(\frac{L}{V}-\frac{B}{V}\right)x_B = \frac{L-B}{V}\,x_B.
  • Usando a identidade de balanço de vazões apropriada (por exemplo L-B=V), obtém-se \dfrac{L-B}{V}=1. Assim
y = x_B.
  • Conclusão: a Linha de Operação da seção de rasgo passa pelo ponto (x_B,x_B), que também pertence à reta diagonal x=y.

Passo 6

Interpretação física e geométrica curta (para fixar a intuição).
  • Geometricamente: a diagonal x=y é a linha onde líquido e vapor têm a mesma composição. O fato de a Linha de Operação passar por (x_D,x_D) significa que, se por acaso a composição do líquido em um estágio fosse igual à composição do destilado x_D, o vapor correspondente teria a mesma composição y=x_D — isso decorre diretamente do balanço que inclui a corrente de destilado.
  • Fisicamente: no topo e no fundo a presença das correntes externas D e B fixa pontos da reta de balanço que coincidem com as composições do produto. Esses pontos caem na diagonal porque, avaliando o balanço com a composição igual à do produto, as contribuições da corrente do produto fazem com que a composição do vapor associado seja exatamente igual à composição do produto.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para reforçar) — sem complicar contas.
  • Suponha L=3, D=1 e x_D=0{,}9. Então V=L+D=4. A Linha de Operação da retificação é
y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}\cdot 0{,}9.
Se x=0{,}9 então
y = \frac{3}{4}\cdot 0{,}9 + \frac{1}{4}\cdot 0{,}9 = 0{,}9,
confirmando que (0{,}9,0{,}9) está sobre a reta. Mesmo raciocínio vale para a seção inferior com números de exemplo análogos.

Resposta

Porque, ao escrever o balanço de componente que dá a equação linear da Linha de Operação (rectificação: y=\dfrac{L}{V}x+\dfrac{D}{V}x_D; rasgo: y=\dfrac{L}{V}x-\dfrac{B}{V}x_B) e substituir x=x_D (ou x=x_B), obtém‑se y=x_D (ou y=x_B). Logo a Linha de Operação da retificação contém (x_D,x_D) e a da rasgo contém (x_B,x_B), pontos esses que ficam sobre a reta diagonal x=y.

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